Der Term der Umkehrfunktion

The term of the inverse function

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisUmkehrfunktionGleichungen

Den Term von f⁻¹ findet man, indem man y = f(x) nach x auflöst und danach x und y vertauscht; die Probe f(f⁻¹(x)) = x fängt Rechenfehler ab. Bei der Quadratfunktion entscheidet die Definitionsmenge von f, ob die Wurzel mit Plus oder Minus steht, und die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f. Der Abschnitt räumt zwei Fehlvorstellungen aus: beim Auflösen bleibe immer ±√, und die Umkehrfunktion einer Wurzel brauche keine Einschränkung. Er bereitet die Wurzelfunktion als Umkehrung von x² und im Folgekurs ln als Umkehrung von eˣ vor.

Auflösen und tauschen

Den Term von f⁻¹ findet man in zwei Schritten: Löse y = f(x) nach x auf, dann vertausche die Namen x und y. Für gilt , also . Die Steigung 2 wird zu ½. Zur Probe setzt man f⁻¹ in f ein: . Es muss f(f⁻¹(x)) = x herauskommen, und ebenso f⁻¹(f(x)) = x. Die Probe fängt Rechenfehler beim Auflösen ab. Man kehrt die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge um: f multipliziert mit 2 und addiert 1, f⁻¹ subtrahiert 1 und teilt durch 2.

Ändere die Steigung m von f. Wie ändert sich die Steigung von f⁻¹?

Ein Ast der Parabel

Bei auf x ≥ 0 folgt aus zuerst , dann ; das Minuszeichen entfällt, weil x ≥ 0 gilt. So ist mit . Auf dem linken Ast (x ≤ 0) gilt dagegen . Welches Vorzeichen gilt, legt allein die Definitionsmenge von f fest. Umgekehrt: Bei folgt , also , aber nur für x ≥ 1. Auch der Term √(x − 1) passt dazu: Er ist nur für x ≥ 1 definiert, und x² + 1 nimmt nie einen kleineren Wert als 1 an.

Wechsle den Ast von f mit dem Regler. Welche Umkehrfunktion gehört zu welchem Ast?

Voraussetzungen (1)

Der Graph der Umkehrfunktion
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zur Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6?

  • ● f⁻¹(x) = (x + 6)/3
  • ○ f⁻¹(x) = (x − 6)/3
  • ○ f⁻¹(x) = 1/(3x − 6)
Aus y = 3x − 6 folgt 3x = y + 6, also x = (y + 6)/3. Bei (x − 6)/3 wurde das Vorzeichen nicht umgekehrt, und 1/(3x − 6) ist der Kehrwert, keine Umkehrfunktion.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph von f ist eine Gerade. Welcher Term gehört zu f⁻¹?

  • ● f⁻¹(x) = (x + 1)/2
  • ○ f⁻¹(x) = (x − 1)/2
  • ○ f⁻¹(x) = 2x + 1
Aus dem Graphen liest man f(x) = 2x − 1 ab. Dann gilt y = 2x − 1, x = (y + 1)/2 und f⁻¹(x) = (x + 1)/2. Probe: f⁻¹(1) = 1, und tatsächlich liegt (1 | 1) auf der Geraden.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für f(x) = 4x + 8 hat der Graph von f⁻¹ die Steigung ¼.

✓ Wahr
Aus y = 4x + 8 folgt x = (y − 8)/4, also f⁻¹(x) = x/4 − 2. Die Steigung 4 wird beim Umkehren zu ¼.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Funktion g besteht für f(x) = 3x − 1 die Probe f(g(x)) = x?

  • ● g(x) = (x + 1)/3
  • ○ g(x) = (x − 1)/3
  • ○ g(x) = 3x + 1
f((x + 1)/3) = 3 · (x + 1)/3 − 1 = x. Bei (x − 1)/3 ergibt die Probe x − 2, bei 3x + 1 ergibt sie 9x + 2.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = 2x − 4 und g(x) = (x + 4)/2 gilt g(f(x)) = x.

✓ Wahr
g(f(x)) = (2x − 4 + 4)/2 = 2x/2 = x. Damit ist g die Umkehrfunktion von f.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für f(x) = 2x − 4 und g(x) = (x − 4)/2 gilt f(g(x)) = x.

✓ Falsch
f(g(x)) = 2 · (x − 4)/2 − 4 = x − 8. Die Probe scheitert: Beim Auflösen von y = 2x − 4 muss man 4 addieren, nicht subtrahieren.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Umkehrfunktion hat f(x) = x² + 1 mit x ≥ 0?

  • ● f⁻¹(x) = √(x − 1)
  • ○ f⁻¹(x) = −√(x − 1)
  • ○ f⁻¹(x) = √x − 1
Aus y = x² + 1 folgt x² = y − 1. Wegen x ≥ 0 gilt x = +√(y − 1). Mit dem Minuszeichen läge der linke Ast vor, und √x − 1 würde erst nach dem Wurzelziehen 1 abziehen.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Umkehrfunktion hat f(x) = x² − 4 mit x ≤ 0?

  • ● f⁻¹(x) = −√(x + 4)
  • ○ f⁻¹(x) = √(x + 4)
  • ○ f⁻¹(x) = −√(x − 4)
Aus y = x² − 4 folgt x² = y + 4. Auf dem linken Ast ist x ≤ 0, also x = −√(y + 4). Bei √(x + 4) läge der rechte Ast vor, und x − 4 unter der Wurzel hätte das Vorzeichen der 4 vertauscht.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die gestrichelte Kurve ist der Graph der Umkehrfunktion von f(x) = x² auf x ≤ 0.

✓ Falsch
Die gestrichelte Kurve √x ist das Spiegelbild des rechten Astes. Der linke Ast wird zu −√x gespiegelt, einer Kurve unterhalb der x-Achse.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = 2x + 7 gilt f⁻¹(x) = (x − 7)/2. Berechne f⁻¹(11).

✓ Antwort: 2
f⁻¹(11) = (11 − 7)/2 = 2. Zur Kontrolle: f(2) = 2 · 2 + 7 = 11.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Funktion g ist die Umkehrfunktion einer Funktion f. Was ergibt f(g(12))?

✓ Antwort: 12
g(12) ist die Zahl, die f auf 12 abbildet. Wendet man f darauf an, kommt 12 heraus, allgemein f(f⁻¹(x)) = x.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² + 1 mit x ≥ 0 gilt f⁻¹(x) = √(x − 1). Berechne f⁻¹(10).

✓ Antwort: 3
f⁻¹(10) = √(10 − 1) = √9 = 3. Kontrolle: f(3) = 9 + 1 = 10.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Fahrt kostet K(s) = 2,5 · s + 4 (in Euro bei s Kilometern). Wie viele Kilometer ergibt K⁻¹(24), also den Weg, der 24 Euro kostet?

✓ Antwort: 8
Aus 24 = 2,5 · s + 4 folgt 2,5 · s = 20 und s = 8. Allgemein K⁻¹(x) = (x − 4)/2,5, hier (24 − 4)/2,5 = 8.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = 3x − 6 wurde fälschlich g(x) = (x − 6)/3 bestimmt. Berechne f(g(9)) als Probe.

✓ Antwort: -3
g(9) = (9 − 6)/3 = 1 und f(1) = 3 · 1 − 6 = −3, nicht 9. Die Probe deckt den Fehler auf. Richtig wäre g(x) = (x + 6)/3 mit g(9) = 5 und f(5) = 9.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x − 3)² + 2 ist auf ]−∞; 3] definiert. Ihre Umkehrfunktion ist f⁻¹(x) = 3 − √(x − 2). Berechne f⁻¹(11).

✓ Antwort: 0
f⁻¹(11) = 3 − √9 = 0. Kontrolle: f(0) = (0 − 3)² + 2 = 11. Mit +√ käme 6 heraus, aber 6 liegt nicht in ]−∞; 3].
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für f(x) = √(x − 2) + 1 mit x ≥ 2 ist f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2 für x ≥ 1. Berechne f⁻¹(4).

✓ Antwort: 11
f⁻¹(4) = (4 − 1)² + 2 = 9 + 2 = 11. Kontrolle: f(11) = √9 + 1 = 4.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x² − 2 mit x ≥ 0 einschließlich ihrer Definitionsmenge und mache die Probe f(f⁻¹(x)) = x. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: y = x² − 2, also x² = y + 2 und wegen x ≥ 0 gilt x = √(y + 2). Damit f⁻¹(x) = √(x + 2) mit D(f⁻¹) = W(f) = [−2; ∞[. Probe: f(f⁻¹(x)) = (√(x + 2))² − 2 = x + 2 − 2 = x.
Aus x² = y + 2 folgt wegen x ≥ 0 nur x = +√(y + 2). Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f, also [−2; ∞[.