Umkehrbar durch Monotonie
Welche dieser Funktionen ist auf ganz â umkehrbar?
Erklärung: xÂł ist streng monoton wachsend: Jede waagerechte Gerade trifft den Graphen genau einmal. Bei x² und |x| gehĂśren zu y = 4 zwei Werte, x = 2 und x = â2.
Der abgebildete Graph gehĂśrt zu einer auf â umkehrbaren Funktion.
Erklärung: Die waagerechte Gerade y = 0 schneidet den Graphen dreimal (bei x = ââ3, x = 0 und x = â3). Wegen des Hoch- und Tiefpunkts wird mancher y-Wert dreimal angenommen.
Fßr welchen y-Wert gibt es bei f(x) = x² genau zwei x-Werte?
Erklärung: Zu y = 9 gehĂśren x = 3 und x = â3. Zu y = 0 passt nur x = 0, und y = â9 wird nie angenommen, weil x² ⼠0 gilt.
Bei f(x) = x² gehÜrt zu y = 25 der x-Wert 5, aber auch noch ein zweiter. Wie lautet er?
Erklärung: x² = 25 hat die LĂśsungen x = 5 und x = â5. Die waagerechte Gerade y = 25 schneidet die Parabel zweimal, deshalb ist x² auf â nicht umkehrbar.
FĂźr f(x) = x² â 4x gilt f(5) = 5. Ein zweiter x-Wert hat denselben Funktionswert. Wie lautet er?
Erklärung: x² â 4x = 5 fĂźhrt auf x² â 4x â 5 = (x â 5)(x + 1) = 0, also x = 5 oder x = â1. Zur Probe: f(â1) = 1 + 4 = 5. Die Parabel ist symmetrisch zu x = 2.
Von f ist fâ˛(x) = 2x â 4 bekannt. Auf welchem Intervall ist f streng monoton fallend?
Erklärung: fâ˛(x) = 2x â 4 ist genau fĂźr x < 2 negativ, dort fällt f streng. Auf [2; â[ steigt f, und [0; 4] enthält beide Richtungen mit dem Wechsel bei x = 2.
Obwohl fâ˛(0) = 0 gilt, ist f(x) = xÂł auf â umkehrbar.
Erklärung: Die Tangente ist bei x = 0 waagerecht, aber fâ˛(x) = 3x² ist sonst positiv: f bleibt streng monoton wachsend. Eine einzelne waagerechte Tangente zerstĂśrt die Umkehrbarkeit nicht.
FĂźr welche Funktion gilt fâ˛(x) > 0 fĂźr alle x â â?
Erklärung: (xÂł + x)Ⲡ= 3x² + 1 ist immer mindestens 1. Bei xÂł â x ist fⲠ= 3x² â 1 fĂźr |x| < 0,58 negativ, und bei xÂł ist fâ˛(0) = 0.
FĂźr f(x) = xÂł + 3x gilt fâ˛(x) = 3x² + 3. Welchen kleinsten Wert nimmt fⲠan?
Erklärung: Wegen 3x² ⼠0 ist fâ˛(x) ⼠3, mit dem kleinsten Wert 3 bei x = 0. Also fⲠ> 0 Ăźberall: f ist streng monoton wachsend und umkehrbar.
Die Funktion f(x) = âxÂł â 2x hat die Ableitung fâ˛(x) = â3x² â 2. Wie viele x-Werte erfĂźllen f(x) = 10?
Erklärung: fⲠ< 0 ßberall: f ist streng monoton fallend und nimmt jeden Wert genau einmal an. Auch fallende Funktionen sind umkehrbar.
Auf welcher Menge ist f(x) = x² umkehrbar?
Erklärung: Auf [0; 5] wächst x² streng. [â1; 4] enthält x = Âą0,5 mit gleichem Funktionswert 0,25, und auf â gilt f(â2) = f(2).
Die Funktion f(x) = x² ist auf dem abgebildeten Ausschnitt [â1; 2] umkehrbar.
Erklärung: Der Ausschnitt enthält beide Seiten des Scheitels: y = 0,5 wird bei x â â0,71 und bei x â 0,71 angenommen.
Die Funktion f(x) = x² ist auf [â3; â1] umkehrbar.
Erklärung: Auf dem linken Ast fällt x² streng monoton (fâ˛(x) = 2x < 0). Jeder Wert kommt nur einmal vor; auch der linke Ast ist umkehrbar.
Die Funktion f(x) = x² soll auf [a; 4] umkehrbar sein. Wie groà ist der kleinste Wert von a, fßr den das gilt?
Erklärung: Ab a = 0 liegt das Intervall auf dem rechten Ast; fĂźr a < 0 gehĂśrt zu manchem y neben x auch âx zum Intervall.
Die Funktion f(x) = (x â 3)² soll auf [a; â[ umkehrbar sein. Wie groĂ ist der kleinste passende Wert von a?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei x = 3. Ab dort steigt f streng, links davon fällt f: fâ˛(x) = 2(x â 3) > 0 fĂźr x > 3.
Gegeben ist f(x) = x² â 6x + 10. Zeige, dass f auf â nicht umkehrbar ist, indem du zwei x-Werte mit demselben Funktionswert angibst. BegrĂźnde mit der Ableitung, dass f auf [3; â[ umkehrbar ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Werte wie 1 und 5 (oder x und 6 â x) haben denselben Funktionswert 5. Auf [3; â[ ist fâ˛(x) = 2x â 6 > 0: streng monoton wachsend, also umkehrbar.