Umkehrbar durch Monotonie

Invertible through monotonicity

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisMonotonieUmkehrfunktion

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird: Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen höchstens einmal. Streng monotone Funktionen erfüllen das, und auf einem Intervall folgt strenge Monotonie aus f′ > 0 oder aus f′ < 0. Der Abschnitt räumt drei Fehlvorstellungen aus: jede Funktion sei umkehrbar, die Parabel habe die Umkehrfunktion ±√x, und eine waagerechte Tangente an einer Stelle zerstöre die Umkehrbarkeit. Er bereitet den Graphen und den Term der Umkehrfunktion sowie die Wurzelfunktion vor.

Jeder y-Wert nur einmal

Eine Funktion f ordnet jedem x genau ein y zu. Eine Umkehrfunktion f⁻¹ soll das rückgängig machen: Zu jedem y gehört dann genau ein x. Bei geht das nicht, denn für y = 4 passen x = 2 und x = −2. Am Graphen sieht man es an der waagerechten Geraden y = 4: Sie schneidet die Parabel zweimal. Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn jede waagerechte Gerade ihren Graphen höchstens einmal schneidet. Nicht jede Funktion hat also eine Umkehrfunktion.

Verschiebe die waagerechte Gerade mit dem Regler. Bei welchem y trifft sie die Parabel nur einmal?

Streng monoton

Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn aus x₁ < x₂ immer folgt; bei streng monoton fallend gilt . Dann nimmt sie jeden Wert höchstens einmal an und ist umkehrbar, ob sie steigt oder fällt. Auf einem Intervall folgt strenge Monotonie aus f′(x) > 0 (oder aus f′(x) < 0). Einzelne Stellen mit f′(x) = 0 stören nicht: hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente und bleibt trotzdem überall streng wachsend.

Bewege P über den Ursprung. Trifft die waagerechte Gerade den Graphen jemals ein zweites Mal?

Definitionsmenge einschränken

Die Parabel ist nicht umkehrbar, aber jeder ihrer Äste ist es. Auf gilt f′(x) = 2x > 0 für x > 0, also ist die Einschränkung streng monoton wachsend. Auf ist sie streng monoton fallend und ebenfalls umkehrbar. Die Einschränkung ist eine neue Funktion mit kleinerer Definitionsmenge; welchen Ast man wählt, ändert die Umkehrfunktion. Zur Frage „Ist f umkehrbar?“ gehört deshalb immer: auf welcher Menge?

Schneide die Parabel mit dem Regler links ab. Ab welchem a bleibt nur noch ein Schnittpunkt mit y = 4?

Ermöglicht (1)

Der Graph der Umkehrfunktion
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen ist auf ganz ℝ umkehrbar?

  • ● f(x) = x³
  • ○ f(x) = x²
  • ○ f(x) = |x|
x³ ist streng monoton wachsend: Jede waagerechte Gerade trifft den Graphen genau einmal. Bei x² und |x| gehören zu y = 4 zwei Werte, x = 2 und x = −2.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einer auf ℝ umkehrbaren Funktion.

✓ Falsch
Die waagerechte Gerade y = 0 schneidet den Graphen dreimal (bei x = −√3, x = 0 und x = √3). Wegen des Hoch- und Tiefpunkts wird mancher y-Wert dreimal angenommen.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für welchen y-Wert gibt es bei f(x) = x² genau zwei x-Werte?

  • ● 9
  • ○ 0
  • ○ −9
Zu y = 9 gehören x = 3 und x = −3. Zu y = 0 passt nur x = 0, und y = −9 wird nie angenommen, weil x² ≥ 0 gilt.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Von f ist f′(x) = 2x − 4 bekannt. Auf welchem Intervall ist f streng monoton fallend?

  • ● ]−∞; 2]
  • ○ [2; ∞[
  • ○ [0; 4]
f′(x) = 2x − 4 ist genau für x < 2 negativ, dort fällt f streng. Auf [2; ∞[ steigt f, und [0; 4] enthält beide Richtungen mit dem Wechsel bei x = 2.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Obwohl f′(0) = 0 gilt, ist f(x) = x³ auf ℝ umkehrbar.

✓ Wahr
Die Tangente ist bei x = 0 waagerecht, aber f′(x) = 3x² ist sonst positiv: f bleibt streng monoton wachsend. Eine einzelne waagerechte Tangente zerstört die Umkehrbarkeit nicht.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Für welche Funktion gilt f′(x) > 0 für alle x ∈ ℝ?

  • ● f(x) = x³ + x
  • ○ f(x) = x³ − x
  • ○ f(x) = x³
(x³ + x)′ = 3x² + 1 ist immer mindestens 1. Bei x³ − x ist f′ = 3x² − 1 für |x| < 0,58 negativ, und bei x³ ist f′(0) = 0.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Auf welcher Menge ist f(x) = x² umkehrbar?

  • ● [0; 5]
  • ○ [−1; 4]
  • ○ ℝ
Auf [0; 5] wächst x² streng. [−1; 4] enthält x = ±0,5 mit gleichem Funktionswert 0,25, und auf ℝ gilt f(−2) = f(2).
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x² ist auf dem abgebildeten Ausschnitt [−1; 2] umkehrbar.

✓ Falsch
Der Ausschnitt enthält beide Seiten des Scheitels: y = 0,5 wird bei x ≈ −0,71 und bei x ≈ 0,71 angenommen.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x² ist auf [−3; −1] umkehrbar.

✓ Wahr
Auf dem linken Ast fällt x² streng monoton (f′(x) = 2x < 0). Jeder Wert kommt nur einmal vor; auch der linke Ast ist umkehrbar.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei f(x) = x² gehört zu y = 25 der x-Wert 5, aber auch noch ein zweiter. Wie lautet er?

✓ Antwort: -5
x² = 25 hat die Lösungen x = 5 und x = −5. Die waagerechte Gerade y = 25 schneidet die Parabel zweimal, deshalb ist x² auf ℝ nicht umkehrbar.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = x³ + 3x gilt f′(x) = 3x² + 3. Welchen kleinsten Wert nimmt f′ an?

✓ Antwort: 3
Wegen 3x² ≥ 0 ist f′(x) ≥ 3, mit dem kleinsten Wert 3 bei x = 0. Also f′ > 0 überall: f ist streng monoton wachsend und umkehrbar.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x² soll auf [a; 4] umkehrbar sein. Wie groß ist der kleinste Wert von a, für den das gilt?

✓ Antwort: 0
Ab a = 0 liegt das Intervall auf dem rechten Ast; für a < 0 gehört zu manchem y neben x auch −x zum Intervall.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 4x gilt f(5) = 5. Ein zweiter x-Wert hat denselben Funktionswert. Wie lautet er?

✓ Antwort: -1
x² − 4x = 5 führt auf x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0, also x = 5 oder x = −1. Zur Probe: f(−1) = 1 + 4 = 5. Die Parabel ist symmetrisch zu x = 2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = −x³ − 2x hat die Ableitung f′(x) = −3x² − 2. Wie viele x-Werte erfüllen f(x) = 10?

✓ Antwort: 1
f′ < 0 überall: f ist streng monoton fallend und nimmt jeden Wert genau einmal an. Auch fallende Funktionen sind umkehrbar.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x − 3)² soll auf [a; ∞[ umkehrbar sein. Wie groß ist der kleinste passende Wert von a?

✓ Antwort: 3
Der Scheitel liegt bei x = 3. Ab dort steigt f streng, links davon fällt f: f′(x) = 2(x − 3) > 0 für x > 3.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 10. Zeige, dass f auf ℝ nicht umkehrbar ist, indem du zwei x-Werte mit demselben Funktionswert angibst. Begründe mit der Ableitung, dass f auf [3; ∞[ umkehrbar ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(1) = 1 − 6 + 10 = 5 und f(5) = 25 − 30 + 10 = 5: Zu y = 5 gehören zwei x-Werte, also ist f auf ℝ nicht umkehrbar. f′(x) = 2x − 6 > 0 für x > 3, also ist f auf [3; ∞[ streng monoton wachsend und dort umkehrbar.
Zwei Werte wie 1 und 5 (oder x und 6 − x) haben denselben Funktionswert 5. Auf [3; ∞[ ist f′(x) = 2x − 6 > 0: streng monoton wachsend, also umkehrbar.