Die Wurzelfunktion
Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f(x) = x² auf [0; ∞[?
Erklärung: Auf [0; ∞[ gilt (√x)² = x, und √x ist nicht negativ. −√x wäre die Umkehrfunktion des linken Astes, 1/x² ist der Kehrwert.
Es gilt √16 = 4, obwohl auch (−4)² = 16 ist.
Erklärung: Die Wurzel ist nie negativ: √16 = 4. Die Gleichung x² = 16 hat die Lösungen 4 und −4, aber das Wurzelzeichen bezeichnet nur die nichtnegative.
Für f(x) = √x gilt f(x) = 6. Wie groß ist x?
Erklärung: f ist die Umkehrfunktion von x² auf [0; ∞[: aus √x = 6 folgt x = 6² = 36.
Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 20,25 cm². Wie lang ist seine Seite in cm?
Erklärung: Die Seite ist die Wurzel des Flächeninhalts: √20,25 = 4,5. Probe: 4,5² = 20,25.
Wo beginnt der Graph von f(x) = √(x − 3) + 2?
Erklärung: Unter der Wurzel muss x − 3 ≥ 0 gelten, also beginnt der Graph bei x = 3 mit dem Wert √0 + 2 = 2. Die Vorzeichen von x − 3 und + 2 werden leicht vertauscht.
Welcher Term gehört zu dem abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph beginnt im Punkt (−1 | 2). Wegen x + 1 = x − (−1) ist c = −1, und d = 2. Probe: f(3) = √4 + 2 = 4, und (3 | 4) liegt auf dem Graphen.
Welches ist der kleinste x-Wert in der Definitionsmenge von f(x) = √(x + 5)?
Erklärung: Es muss x + 5 ≥ 0 gelten, also x ≥ −5. Der kleinste x-Wert ist −5 mit f(−5) = 0.
Berechne die Nullstelle von f(x) = √(x + 3) − 2.
Erklärung: Aus √(x + 3) = 2 folgt x + 3 = 4, also x = 1. Probe: √4 − 2 = 0. Sie liegt in D = [−3; ∞[.
Welche Ableitung hat f(x) = √x für x > 0?
Erklärung: x² hat bei t die Steigung 2t. Beim Spiegeln wird sie zum Kehrwert 1/(2t) mit t = √x. Bei 1/√x fehlt der Faktor 2, und 2√x ist der Kehrwert-Fehler.
Die Tangente an y = x² im Punkt A(3 | 9) hat die Steigung 6. Welche Steigung hat die Tangente an y = √x im Spiegelpunkt B(9 | 3)?
Erklärung: Beim Spiegeln an y = x wird die Steigung m zu 1/m. Kontrolle mit der Formel: 1/(2√9) = 1/6.
Berechne die Steigung von f(x) = √x an der Stelle x = 4.
Erklärung: f′(4) = 1/(2√4) = 1/4 = 0,25.
An welcher Stelle x hat der Graph von f(x) = √x die Steigung ½?
Erklärung: Aus 1/(2√x) = 1/2 folgt √x = 1, also x = 1. Dort ist die Tangente parallel zu y = x/2.
Wie verläuft die Tangente an den Graphen von y = √x im Punkt (0 | 0)?
Erklärung: Der Graph ist die Spiegelung des Parabelastes, dessen Tangente im Ursprung waagerecht ist. Gespiegelt wird daraus eine senkrechte Tangente; f′(0) existiert nicht.
Die Steigung des Graphen von f(x) = √x ist an jeder Stelle x > 0 kleiner als 1.
Erklärung: f′(x) = 1/(2√x) ist für x < 0,25 größer als 1: Bei x = 0,01 beträgt sie 5. Nur für x > 0,25 ist die Steigung kleiner als 1.
Berechne die Steigung von f(x) = √x an der Stelle x = 0,01.
Erklärung: f′(0,01) = 1/(2 · √0,01) = 1/(2 · 0,1) = 5. Je näher x an 0 rückt, desto größer wird die Steigung.
Für x > 0 gilt f′(x) = 1/(2√x). An welcher Stelle x ist die Steigung von f(x) = √x gleich 10?
Erklärung: Aus 1/(2√x) = 10 folgt √x = 1/20 und x = 1/400 = 0,0025. Große Steigungen gibt es nur ganz nahe an x = 0.
Die Parabel y = x² hat im Punkt P(3 | 9) die Steigung 6. Begründe mit der Spiegelung an y = x, welche Steigung die Wurzelfunktion im Spiegelpunkt P′ hat, und gib die Gleichung der Tangente an y = √x in P′ an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Spiegeln vertauscht die Koordinaten und macht aus der Steigung m die Steigung 1/m. Mit m = 1/6 durch (9 | 3): y = x/6 + 1,5.