Die Wurzelfunktion

The square-root function

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisWurzelfunktionAbleitungen

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion auf [0; ∞[: Sie hat D = W = [0; ∞[, beginnt im Ursprung, steigt streng monoton und wird immer flacher. Verschoben beginnt y = √(x − c) + d im Punkt (c | d). Weil Spiegeln an y = x Steigungen in ihre Kehrwerte verwandelt, folgt (√x)′ = 1/(2√x) für x > 0; bei x = 0 ist die Tangente senkrecht. Der Abschnitt räumt drei Fehlvorstellungen aus: √9 = ±3, die Verschiebung √(x + 2) gehe nach rechts, und der Graph beginne bei x = 0 waagerecht. Er bereitet die Potenzregel für rationale Exponenten vor.

Umkehrung der Quadratfunktion

Auf ist x² streng monoton wachsend, also umkehrbar. Die Umkehrfunktion heißt Wurzelfunktion: mit . √x ist die einzige nichtnegative Zahl, deren Quadrat x ergibt, also die Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt x. Der Graph entsteht aus dem rechten Parabelast durch Spiegelung an y = x: Er beginnt in (0 | 0), steigt streng monoton und wird immer flacher. Es gilt √9 = 3, nicht ±3, und für x < 0 ist √x nicht definiert.

Ändere die Fläche x des Quadrats. Wie verhalten sich Fläche und Seitenlänge zueinander?

Verschieben

Der Graph von geht aus dem der Wurzelfunktion hervor: um c nach rechts und um d nach oben. Er beginnt im Startpunkt (c | d), es gilt D = [c; ∞[ und W = [d; ∞[. Bei ist c = −2, denn x + 2 = x − (−2): Der Graph verschiebt sich nach links, der Startpunkt ist (−2 | −1). Unter der Wurzel muss gelten, also x ≥ −2.

Ändere c und d. Wohin wandert der Startpunkt, und wie ändert sich der Rest des Graphen?

Die Steigung der Wurzelfunktion

Ein Spiegelbild macht aus der Steigung m die reziproke Steigung 1/m. Bei (2 | 4) hat x² die Steigung 4; im Spiegelpunkt (4 | 2) hat √x die Steigung ¼. Allgemein hat x² bei t die Steigung 2t und √x im Punkt (t² | t) die Steigung 1/(2t). Mit t = √x folgt für x > 0. Bei x = 0 ist die Tangente senkrecht, dort gibt es keine Ableitung: Je näher x an 0 rückt, desto steiler wird der Graph.

Bewege t. Wie hängen die beiden Steigungen zusammen, und was passiert für kleines t?

Voraussetzungen (1)

Der Graph der Umkehrfunktion
Klasse 12
›

Ermöglicht (2)

Rationale Exponenten ableiten
Klasse 12
›
Wurzelfunktionen untersuchen
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f(x) = x² auf [0; ∞[?

  • ● g(x) = √x
  • ○ g(x) = −√x
  • ○ g(x) = 1/x²
Auf [0; ∞[ gilt (√x)² = x, und √x ist nicht negativ. −√x wäre die Umkehrfunktion des linken Astes, 1/x² ist der Kehrwert.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Es gilt √16 = 4, obwohl auch (−4)² = 16 ist.

✓ Wahr
Die Wurzel ist nie negativ: √16 = 4. Die Gleichung x² = 16 hat die Lösungen 4 und −4, aber das Wurzelzeichen bezeichnet nur die nichtnegative.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wo beginnt der Graph von f(x) = √(x − 3) + 2?

  • ● (3 | 2)
  • ○ (−3 | 2)
  • ○ (3 | −2)
Unter der Wurzel muss x − 3 ≥ 0 gelten, also beginnt der Graph bei x = 3 mit dem Wert √0 + 2 = 2. Die Vorzeichen von x − 3 und + 2 werden leicht vertauscht.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu dem abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = √(x + 1) + 2
  • ○ f(x) = √(x − 1) + 2
  • ○ f(x) = √(x + 2) + 1
Der Graph beginnt im Punkt (−1 | 2). Wegen x + 1 = x − (−1) ist c = −1, und d = 2. Probe: f(3) = √4 + 2 = 4, und (3 | 4) liegt auf dem Graphen.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = √x für x > 0?

  • ● f′(x) = 1/(2√x)
  • ○ f′(x) = 1/√x
  • ○ f′(x) = 2√x
x² hat bei t die Steigung 2t. Beim Spiegeln wird sie zum Kehrwert 1/(2t) mit t = √x. Bei 1/√x fehlt der Faktor 2, und 2√x ist der Kehrwert-Fehler.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Tangente an y = x² im Punkt A(3 | 9) hat die Steigung 6. Welche Steigung hat die Tangente an y = √x im Spiegelpunkt B(9 | 3)?

  • ● 1/6
  • ○ 6
  • ○ −6
Beim Spiegeln an y = x wird die Steigung m zu 1/m. Kontrolle mit der Formel: 1/(2√9) = 1/6.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wie verläuft die Tangente an den Graphen von y = √x im Punkt (0 | 0)?

  • ● senkrecht
  • ○ waagerecht
  • ○ mit der Steigung 1
Der Graph ist die Spiegelung des Parabelastes, dessen Tangente im Ursprung waagerecht ist. Gespiegelt wird daraus eine senkrechte Tangente; f′(0) existiert nicht.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Steigung des Graphen von f(x) = √x ist an jeder Stelle x > 0 kleiner als 1.

✓ Falsch
f′(x) = 1/(2√x) ist für x < 0,25 größer als 1: Bei x = 0,01 beträgt sie 5. Nur für x > 0,25 ist die Steigung kleiner als 1.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = √x gilt f(x) = 6. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 36
f ist die Umkehrfunktion von x² auf [0; ∞[: aus √x = 6 folgt x = 6² = 36.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welches ist der kleinste x-Wert in der Definitionsmenge von f(x) = √(x + 5)?

✓ Antwort: -5
Es muss x + 5 ≥ 0 gelten, also x ≥ −5. Der kleinste x-Wert ist −5 mit f(−5) = 0.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von f(x) = √x an der Stelle x = 4.

✓ Antwort: 0.25
f′(4) = 1/(2√4) = 1/4 = 0,25.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von f(x) = √x an der Stelle x = 0,01.

✓ Antwort: 5
f′(0,01) = 1/(2 · √0,01) = 1/(2 · 0,1) = 5. Je näher x an 0 rückt, desto größer wird die Steigung.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 20,25 cm². Wie lang ist seine Seite in cm?

✓ Antwort: 4.5
Die Seite ist die Wurzel des Flächeninhalts: √20,25 = 4,5. Probe: 4,5² = 20,25.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Nullstelle von f(x) = √(x + 3) − 2.

✓ Antwort: 1
Aus √(x + 3) = 2 folgt x + 3 = 4, also x = 1. Probe: √4 − 2 = 0. Sie liegt in D = [−3; ∞[.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

An welcher Stelle x hat der Graph von f(x) = √x die Steigung ½?

✓ Antwort: 1
Aus 1/(2√x) = 1/2 folgt √x = 1, also x = 1. Dort ist die Tangente parallel zu y = x/2.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für x > 0 gilt f′(x) = 1/(2√x). An welcher Stelle x ist die Steigung von f(x) = √x gleich 10?

✓ Antwort: 0.0025
Aus 1/(2√x) = 10 folgt √x = 1/20 und x = 1/400 = 0,0025. Große Steigungen gibt es nur ganz nahe an x = 0.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Die Parabel y = x² hat im Punkt P(3 | 9) die Steigung 6. Begründe mit der Spiegelung an y = x, welche Steigung die Wurzelfunktion im Spiegelpunkt P′ hat, und gib die Gleichung der Tangente an y = √x in P′ an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: P′ = (9 | 3). Beim Spiegeln an y = x wird die Steigung 6 zum Kehrwert 1/6 (Kontrolle: 1/(2√9) = 1/6). Tangente durch (9 | 3) mit m = 1/6: y = (1/6)(x − 9) + 3 = x/6 + 3/2.
Spiegeln vertauscht die Koordinaten und macht aus der Steigung m die Steigung 1/m. Mit m = 1/6 durch (9 | 3): y = x/6 + 1,5.