Wurzelfunktionen untersuchen
Welche Definitionsmenge hat f(x) = √(4 − x)?
Erklärung: Der Radikand muss ≥ 0 sein: 4 − x ≥ 0 gilt genau für x ≤ 4. Bei [4; ∞[ wurde die Ungleichung falsch herum gelesen, und [0; 4] verlangt zusätzlich x ≥ 0.
Der Graph gehört zu f(x) = √(6 − 2x). Welche Definitionsmenge hat f?
Erklärung: 6 − 2x ≥ 0 ergibt x ≤ 3, und der Graph endet tatsächlich in (3 | 0). Wer nicht durch 2 teilt, erhält x ≤ 6, und [3; ∞[ kehrt die Ungleichung um.
Welches ist der kleinste x-Wert in der Definitionsmenge von f(x) = √(2x + 3)?
Erklärung: 2x + 3 ≥ 0 gibt 2x ≥ −3, also x ≥ −1,5. Der kleinste x-Wert ist −1,5 mit f(−1,5) = 0.
Die Definitionsmenge von f(x) = √(12 − 3x) ist ]−∞; a]. Bestimme a.
Erklärung: 12 − 3x ≥ 0 gibt 3x ≤ 12, also x ≤ 4. Es ist a = 4.
Quadrieren von √(2x + 3) = x ergibt x² = 2x + 3 mit x = 3 oder x = −1. Welche Zahl löst die Wurzelgleichung?
Erklärung: Probe: √(2 · 3 + 3) = √9 = 3 stimmt. Für x = −1 steht links √1 = 1, rechts −1: Das ist eine Scheinlösung, die erst durch das Quadrieren entstand.
Die Gleichung √(x + 2) = x hat nach dem Quadrieren die Kandidaten x = 2 und x = −1. Welcher der markierten Punkte gehört zu einer Lösung?
Erklärung: Eine Lösung ist ein Schnittpunkt von y = √(x + 2) und y = x. P(2 | 2) liegt auf beiden Graphen. Q(−1 | −1) liegt nur auf der Geraden, denn √(−1 + 2) = 1.
Löse √(x + 6) = x. Gib die einzige Lösung an.
Erklärung: Quadrieren: x + 6 = x², also x² − x − 6 = 0 mit x = 3 oder x = −2. Probe: √9 = 3 stimmt, √4 = 2 ≠−2. Die Lösung ist x = 3.
Wie viele Lösungen hat die Wurzelgleichung √(5x − 4) = x?
Erklärung: Quadrieren: 5x − 4 = x², also x = 1 oder x = 4. Beide bestehen die Probe: √1 = 1 und √16 = 4. Die Probe streicht also nicht immer eine Lösung.
f(x) = 2√x − x ist der senkrechte Abstand der abgebildeten Graphen. Es gilt f′(x) = 1/√x − 1. Bei welchem x liegt der Hochpunkt von f?
Erklärung: f′(x) = 0 gibt √x = 1, also x = 1. x = 4 ist die Nullstelle von f (dort schneiden sich die Graphen), und x = 0 ist der Randpunkt ohne f′ = 0.
f(x) = √x − x/4 hat die Ableitung f′(x) = 1/(2√x) − 1/4. Welcher Punkt ist der Extrempunkt von f?
Erklärung: f′(x) = 0 gibt √x = 2, also x = 4 mit f(4) = 2 − 1 = 1. Für x < 4 ist f′ > 0, für x > 4 ist f′ < 0: Hochpunkt. Bei (2 | 1) wurde √x = 2 als x = 2 gelesen.
Der Randpunkt (0 | 0) von f(x) = 2√x − x ist ein Extrempunkt, weil f′(0) = 0 gilt.
Erklärung: f′(0) existiert nicht: Die Tangente ist dort senkrecht. Extremstellen im Inneren findet man aus f′(x) = 0; der Randpunkt muss getrennt untersucht werden.
Für f(x) = 4√x − x gilt f′(x) = 2/√x − 1. Löse f′(x) = 0.
Erklärung: 2/√x = 1 gibt √x = 2, also x = 4. Dort ist f(4) = 8 − 4 = 4 ein Hochpunkt.
Bestimme den größten Funktionswert von f(x) = 3√x − x. Es gilt f′(x) = 3/(2√x) − 1.
Erklärung: f′(x) = 0 gibt √x = 3/2, also x = 9/4. Der Funktionswert ist f(9/4) = 3 · 3/2 − 9/4 = 9/2 − 9/4 = 9/4 = 2,25. Für x < 9/4 steigt f, danach fällt f.
Wie verhält sich f(x) = 2√x − x für x → ∞? Die Abbildung zeigt die Graphen von 2√x und x.
Erklärung: Rechts von x = 4 liegt die Gerade y = x über der Wurzelkurve, und der Abstand wächst: √x wächst langsamer als x. Bei x = 100 ist f = 20 − 100 = −80.
Für große x wächst √x langsamer als x.
Erklärung: Ab x = 1 liegt √x unter der Geraden y = x, und der Abstand wächst: Bei x = 100 ist √x = 10, aber x = 100. Der Quotient √x/x = 1/√x geht gegen 0.
Berechne f(10000) für f(x) = 2√x − x.
Erklärung: f(10000) = 2 · 100 − 10000 = 200 − 10000 = −9800.
Welchem Wert nähert sich g(x) = √x/(x + 1) für x → ∞?
Erklärung: Im Zähler wächst √x, im Nenner x + 1 schneller: g(100) = 10/101 ≈ 0,099 und g(10000) = 100/10001 ≈ 0,01. Der Wert geht gegen 0.
Untersuche f(x) = 2√x − x: Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen, berechne f′(x), bestimme den Extrempunkt mit Art und begründe das Verhalten für x → ∞. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Aus f′(x) = 0 folgt x = 1; f(1) = 1. Vorzeichenwechsel von + nach − bei x = 1: Hochpunkt (1 | 1). Der Randpunkt (0 | 0) hat keine Ableitung.