Wurzelfunktionen untersuchen

Investigating root functions

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben
AnalysisWurzelfunktionKurvendiskussion

Verknüpfungen der Wurzelfunktion mit bekannten Funktionen untersucht man wie sonst mit der Ableitung, aber mit drei Besonderheiten: Der Radikand bestimmt die Definitionsmenge, Wurzelgleichungen verlangen nach dem Quadrieren eine Probe, und am Rand der Definitionsmenge gibt es keine Ableitung. Am Beispiel f(x) = 2√x − x: Nullstellen 0 und 4, Hochpunkt (1 | 1), Randpunkt (0 | 0), f(x) → −∞. Der Abschnitt räumt drei Fehlvorstellungen aus: Quadrieren sei eine Äquivalenzumformung, ein Randpunkt sei ein Extrempunkt mit f′ = 0, und √x wachse wie x. Er festigt die Analysis der Jahrgangsstufe 12 vor dem Logarithmus.

Definitionsmenge und Nullstellen

Bei muss der Radikand x ≥ 0 sein: . Für die Nullstellen wird quadriert: 4x = x², also x = 0 oder x = 4; beide erfüllen die Ausgangsgleichung. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung. Aus folgt mit x = 3 oder x = −1, doch nur x = 3 löst die Wurzelgleichung: √1 = 1 ≠ −1. Die Probe ist Pflicht. Die Figur zeigt den Grund: Die Scheinlösung liegt auf dem unteren Ast von y² = 2x + 3, also auf −√(2x + 3), und nicht auf dem Graphen der Wurzel. Die Definitionsmenge legt fest, wo man rechnen darf, und sie zeigt sich später in der Ableitung: 1/√x gibt es nur für x > 0.

Wandere mit x durch den Definitionsbereich. Wo wird der Abstand √(2x + 3) − x null?

Extrempunkt und Rand

Für x > 0 gilt f′(x) = . Aus f′(x) = 0 folgt √x = 1, also x = 1 mit f(1) = 1. Für x < 1 ist f′ > 0, für x > 1 ist f′ < 0: Hochpunkt (1 | 1). Am Rand x = 0 gibt es keine Ableitung, die Tangente ist senkrecht; (0 | 0) ist ein Randpunkt, kein Extrempunkt durch f′ = 0. Für x → ∞ überwiegt −x, denn √x wächst langsamer als x: f(x) → −∞. Die Figur deutet f(x) als Abstand der Graphen von 2√x und x. Er ist am größten, wo beide Graphen gleich steil sind. Zur Kontrolle: f(4) = 2 · 2 − 4 = 0, und f(1) = 1 ist der größte Funktionswert.

Bewege x und vergleiche die beiden Steigungen. Bei welchem x ist der Abstand am größten?

Voraussetzungen (1)

Die Wurzelfunktion
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat f(x) = √(4 − x)?

  • ● ]−∞; 4]
  • ○ [4; ∞[
  • ○ [0; 4]
Der Radikand muss ≥ 0 sein: 4 − x ≥ 0 gilt genau für x ≤ 4. Bei [4; ∞[ wurde die Ungleichung falsch herum gelesen, und [0; 4] verlangt zusätzlich x ≥ 0.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = √(6 − 2x). Welche Definitionsmenge hat f?

  • ● ]−∞; 3]
  • ○ [3; ∞[
  • ○ ]−∞; 6]
6 − 2x ≥ 0 ergibt x ≤ 3, und der Graph endet tatsächlich in (3 | 0). Wer nicht durch 2 teilt, erhält x ≤ 6, und [3; ∞[ kehrt die Ungleichung um.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Quadrieren von √(2x + 3) = x ergibt x² = 2x + 3 mit x = 3 oder x = −1. Welche Zahl löst die Wurzelgleichung?

  • ● nur x = 3
  • ○ nur x = −1
  • ○ x = 3 und x = −1
Probe: √(2 · 3 + 3) = √9 = 3 stimmt. Für x = −1 steht links √1 = 1, rechts −1: Das ist eine Scheinlösung, die erst durch das Quadrieren entstand.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Gleichung √(x + 2) = x hat nach dem Quadrieren die Kandidaten x = 2 und x = −1. Welcher der markierten Punkte gehört zu einer Lösung?

  • ● nur P
  • ○ nur Q
  • ○ P und Q
Eine Lösung ist ein Schnittpunkt von y = √(x + 2) und y = x. P(2 | 2) liegt auf beiden Graphen. Q(−1 | −1) liegt nur auf der Geraden, denn √(−1 + 2) = 1.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

f(x) = 2√x − x ist der senkrechte Abstand der abgebildeten Graphen. Es gilt f′(x) = 1/√x − 1. Bei welchem x liegt der Hochpunkt von f?

  • ● x = 1
  • ○ x = 4
  • ○ x = 0
f′(x) = 0 gibt √x = 1, also x = 1. x = 4 ist die Nullstelle von f (dort schneiden sich die Graphen), und x = 0 ist der Randpunkt ohne f′ = 0.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

f(x) = √x − x/4 hat die Ableitung f′(x) = 1/(2√x) − 1/4. Welcher Punkt ist der Extrempunkt von f?

  • ● Hochpunkt (4 | 1)
  • ○ Tiefpunkt (4 | 1)
  • ○ Hochpunkt (2 | 1)
f′(x) = 0 gibt √x = 2, also x = 4 mit f(4) = 2 − 1 = 1. Für x < 4 ist f′ > 0, für x > 4 ist f′ < 0: Hochpunkt. Bei (2 | 1) wurde √x = 2 als x = 2 gelesen.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Randpunkt (0 | 0) von f(x) = 2√x − x ist ein Extrempunkt, weil f′(0) = 0 gilt.

✓ Falsch
f′(0) existiert nicht: Die Tangente ist dort senkrecht. Extremstellen im Inneren findet man aus f′(x) = 0; der Randpunkt muss getrennt untersucht werden.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Wie verhält sich f(x) = 2√x − x für x → ∞? Die Abbildung zeigt die Graphen von 2√x und x.

  • ● f(x) → −∞
  • ○ f(x) → +∞
  • ○ f(x) → 0
Rechts von x = 4 liegt die Gerade y = x über der Wurzelkurve, und der Abstand wächst: √x wächst langsamer als x. Bei x = 100 ist f = 20 − 100 = −80.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für große x wächst √x langsamer als x.

✓ Wahr
Ab x = 1 liegt √x unter der Geraden y = x, und der Abstand wächst: Bei x = 100 ist √x = 10, aber x = 100. Der Quotient √x/x = 1/√x geht gegen 0.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Welches ist der kleinste x-Wert in der Definitionsmenge von f(x) = √(2x + 3)?

✓ Antwort: -1.5
2x + 3 ≥ 0 gibt 2x ≥ −3, also x ≥ −1,5. Der kleinste x-Wert ist −1,5 mit f(−1,5) = 0.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse √(x + 6) = x. Gib die einzige Lösung an.

✓ Antwort: 3
Quadrieren: x + 6 = x², also x² − x − 6 = 0 mit x = 3 oder x = −2. Probe: √9 = 3 stimmt, √4 = 2 ≠ −2. Die Lösung ist x = 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für f(x) = 4√x − x gilt f′(x) = 2/√x − 1. Löse f′(x) = 0.

✓ Antwort: 4
2/√x = 1 gibt √x = 2, also x = 4. Dort ist f(4) = 8 − 4 = 4 ein Hochpunkt.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne f(10000) für f(x) = 2√x − x.

✓ Antwort: -9800
f(10000) = 2 · 100 − 10000 = 200 − 10000 = −9800.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Definitionsmenge von f(x) = √(12 − 3x) ist ]−∞; a]. Bestimme a.

✓ Antwort: 4
12 − 3x ≥ 0 gibt 3x ≤ 12, also x ≤ 4. Es ist a = 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Wurzelgleichung √(5x − 4) = x?

✓ Antwort: 2
Quadrieren: 5x − 4 = x², also x = 1 oder x = 4. Beide bestehen die Probe: √1 = 1 und √16 = 4. Die Probe streicht also nicht immer eine Lösung.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bestimme den größten Funktionswert von f(x) = 3√x − x. Es gilt f′(x) = 3/(2√x) − 1.

✓ Antwort: 2.25
f′(x) = 0 gibt √x = 3/2, also x = 9/4. Der Funktionswert ist f(9/4) = 3 · 3/2 − 9/4 = 9/2 − 9/4 = 9/4 = 2,25. Für x < 9/4 steigt f, danach fällt f.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Welchem Wert nähert sich g(x) = √x/(x + 1) für x → ∞?

✓ Antwort: 0
Im Zähler wächst √x, im Nenner x + 1 schneller: g(100) = 10/101 ≈ 0,099 und g(10000) = 100/10001 ≈ 0,01. Der Wert geht gegen 0.
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Untersuche f(x) = 2√x − x: Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen, berechne f′(x), bestimme den Extrempunkt mit Art und begründe das Verhalten für x → ∞. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = [0; ∞[. Nullstellen: 2√x = x, quadriert 4x = x², also x = 0 oder x = 4, beide bestätigt (2 · 2 = 4). f′(x) = 1/√x − 1 für x > 0. f′ = 0 gibt x = 1, f(1) = 1. Für x < 1 ist f′ > 0, für x > 1 ist f′ < 0: Hochpunkt (1 | 1). (0 | 0) ist Randpunkt mit senkrechter Tangente. Für x → ∞ überwiegt −x, weil √x langsamer wächst: f(x) → −∞.
Aus f′(x) = 0 folgt x = 1; f(1) = 1. Vorzeichenwechsel von + nach − bei x = 1: Hochpunkt (1 | 1). Der Randpunkt (0 | 0) hat keine Ableitung.