LĂ€nge und Abstand
Wie lang ist der Vektor (1; 4; 8)?
ErklĂ€rung: |v| = â(1ÂČ + 4ÂČ + 8ÂČ) = â(1 + 16 + 64) = â81 = 9. Die Summe der Komponenten (13) oder die Summe der Quadrate ohne Wurzel (81) sind die typischen Fehler.
Wie lang ist der eingezeichnete Vektor v = (2; 4; 4)?
ErklĂ€rung: |v| = â(4 + 16 + 16) = â36 = 6. 10 addiert die Komponenten, 36 vergisst die Wurzel.
Berechne |v| fĂŒr v = (2; 6; 9).
ErklĂ€rung: |v| = â(4 + 36 + 81) = â121 = 11.
Eine Kiste ist 12 dm lang, 4 dm breit und 3 dm hoch. Wie lang ist die Raumdiagonale in dm, also der lÀngste gerade Stab, der hineinpasst?
ErklĂ€rung: Mit den Kanten als Komponenten (12; 4; 3): â(144 + 16 + 9) = â169 = 13 dm. Ăber die Mittelstufe: erst die GrundflĂ€che â(144 + 16), dann mit der Höhe 3, dasselbe Ergebnis.
Welcher Vektor hat die LĂ€nge 1?
ErklĂ€rung: â(0,36 + 0,64 + 0) = 1. Bei (0,5; 0,5; 0,5) ist die LĂ€nge â0,75 < 1, bei (1; 1; â1) ist sie â3.
FĂŒr v = (2; 3; 6): Welcher Vektor hat dieselbe Richtung wie v und die LĂ€nge 1?
ErklÀrung: |v| = 7, also teilt man durch 7. Durch 11 (die Komponentensumme) oder durch 49 (das Quadrat der LÀnge) zu teilen ergibt keine LÀnge 1.
Der Vektor v = (0; 3; 4) wird durch seine LĂ€nge geteilt. Welche zweite Komponente hat der Einheitsvektor (auf 0,1 genau)?
ErklÀrung: |v| = 5, also ist die zweite Komponente 3/5 = 0,6.
Ein Vektor der LĂ€nge 10 zeigt in dieselbe Richtung wie v = (2; 3; 6). Welche dritte Komponente hat er (auf 0,1 genau)?
ErklĂ€rung: Der Einheitsvektor ist (2/7; 3/7; 6/7); mit 10 multipliziert: dritte Komponente 60/7 â 8,571 â 8,6.
Wie weit sind A(1 | 1 | 1) und B(3 | 4 | 7) voneinander entfernt?
ErklĂ€rung: AB = (2; 3; 6), d = â(4 + 9 + 36) = â49 = 7. 11 addiert die Differenzen, 49 lĂ€sst die Wurzel weg.
Wie weit ist A vom Punkt B entfernt (Einheit: 1 m)?
ErklĂ€rung: A(0 | 1 | 1), B(4 | 1 | 4): AB = (4; 0; 3), d = â(16 + 0 + 9) = 5. 7 addiert die Differenzen, 25 lĂ€sst die Wurzel weg.
Berechne den Abstand von P(â1 | 2 | 0) und Q(2 | 6 | 12).
ErklĂ€rung: PQ = (3; 4; 12), d = â(9 + 16 + 144) = â169 = 13.
Eine Drohne fliegt geradlinig von A(2 | 1 | 0) nach B(3 | 3 | 2) (Einheit: 1 m). Wie viele Meter legt sie zurĂŒck?
ErklĂ€rung: AB = (1; 2; 2), d = â(1 + 4 + 4) = 3 m.
Im Bild sind a = (3; 0; 0) und b = (0; 4; 0) aneinandergehÀngt. Wie lang ist a + b?
ErklĂ€rung: a + b = (3; 4; 0), |a + b| = â(9 + 16) = 5. 7 = |a| + |b| addiert die LĂ€ngen, 25 lĂ€sst die Wurzel weg.
FĂŒr a = (1; 0; 0) und b = (0; 1; 0) gilt |a + b| = |a| + |b|.
ErklĂ€rung: |a + b| = |(1; 1; 0)| = â2 â 1,41, aber |a| + |b| = 2. Die LĂ€nge einer Summe ist hier kleiner als die Summe der LĂ€ngen.
Der Vektor a hat die LĂ€nge 5. Wie lang ist â3 · a?
ErklĂ€rung: |â3 · a| = |â3| · |a| = 3 · 5 = 15. Eine LĂ€nge ist nie negativ, und man addiert die Faktoren nicht zur LĂ€nge.
Der Vektor a = (1; 2; 2) hat die LÀnge 3. Wie lang ist 4 · a?
ErklÀrung: |4 · a| = 4 · |a| = 12.
FĂŒr a = (1; 2; 2) und b = (2; 0; 0): Berechne |a + b| â (|a| + |b|) auf 0,01 genau.
ErklĂ€rung: a + b = (3; 2; 2), |a + b| = â17 â 4,123; |a| + |b| = 3 + 2 = 5. Differenz â â0,88: Die LĂ€nge der Summe ist kleiner als die Summe der LĂ€ngen.
Eine Kiste ist 12 dm lang, 4 dm breit und 3 dm hoch. Bestimme die LÀnge des lÀngsten geraden Stabs, der hineinpasst, auf zwei Wegen: (1) mit dem Satz des Pythagoras zweimal, (2) als Betrag eines Vektors, wenn eine Ecke im Ursprung liegt. Vergleiche die beiden Rechnungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Zweimal Pythagoras (erst GrundflÀche, dann Höhe) und der Betrag des Vektors (12; 4; 3) sind dieselbe Rechnung. Die Raumdiagonale ist 13 dm.