Länge und Abstand

Length and distance

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

GeometrieVektorenAbstandBetrag

Die Länge eines Vektors ist sein Betrag |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²): zweimal Pythagoras, erst in der Grundfläche, dann mit der Höhe. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors, ein Einheitsvektor entsteht durch Teilen durch die Länge. Der Betrag einer Summe ist nicht die Summe der Beträge, wohl aber gilt |s · a| = |s| · |a|. Räumt aus, die Wurzel oder eine Komponente zu vergessen, Koordinaten statt Differenzen zu quadrieren und Beträge zu addieren (Nguyen & Meltzer 2003). Bereitet das Skalarprodukt, Winkel und Abstände im Raum vor.

Die Länge eines Vektors

Wie weit reicht der Flug $v = (1; 2; 2)$ ? Seine Länge oder sein Betrag $∣ v ∣$ entsteht aus zweimal Pythagoras: erst die Diagonale e der Grundfläche, $e^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$ , dann mit der Höhe v₃ die Raumdiagonale:

$∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$

Für $(1; 2; 2)$ ist das $1 + 4 + 4 = 3$ . Alle drei Quadrate stehen unter der Wurzel, und die Wurzel darf nicht fehlen. Die Länge ist nie negativ und hängt nicht davon ab, wo der Pfeil beginnt. Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor; du erhältst ihn, indem du jede Komponente durch die Länge teilst: $\frac{1}{3} (1; 2; 2) = (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ zeigt wie v, ist aber 1 lang.

Ändere v₁, v₂ und v₃. Welche Länge gehört zu (2; 3; 6)? Wann ist |v| eine ganze Zahl?

Abstand und Summe

Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors: $d (A, B) = ∣ A B ∣$ . Erst subtrahieren (Zielpunkt minus Startpunkt), dann den Betrag bilden. Für $A (1 ∣ 1 ∣ 0)$ und $B (2 ∣ 3 ∣ 2)$ ist $A B = (1; 2; 2)$ und $d = 3$ . Die Koordinaten von A und B einzeln zu quadrieren ist falsch – quadriert werden die Differenzen.

Verschiebe B. Wann ist der Abstand zu A gleich 3, und wann ist er kleiner als 1?

Vorsicht bei Summen: Der Betrag einer Summe ist meist kleiner als die Summe der Beträge. Für $a = (3; 0; 0)$ und $b = (0; 4; 0)$ ist $∣ a + b ∣ = ∣ (3; 4; 0) ∣ = 5$ , aber $∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 7$ . Nur bei Vielfachen gilt $∣ s \cdot a ∣ = ∣ s ∣ \cdot ∣ a ∣$ .

Zum Vergleich: Wer die Raumdiagonale einer Kiste mit den zwei Pythagoras-Schritten der Mittelstufe berechnet, rechnet dasselbe wie mit dem Betrag. Die Vektorschreibweise fasst beide Schritte in einer Wurzel zusammen.

Voraussetzungen (2)

Der Verbindungsvektor

Klasse 12

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Vielfache von Vektoren

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lang ist der Vektor (1; 4; 8)?

● 9
○ 13
○ 81

|v| = √(1² + 4² + 8²) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9. Die Summe der Komponenten (13) oder die Summe der Quadrate ohne Wurzel (81) sind die typischen Fehler.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Wie lang ist der eingezeichnete Vektor v = (2; 4; 4)?

● 6
○ 10
○ 36

|v| = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6. 10 addiert die Komponenten, 36 vergisst die Wurzel.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Vektor hat die Länge 1?

● (0,6; 0,8; 0)
○ (0,5; 0,5; 0,5)
○ (1; 1; −1)

√(0,36 + 0,64 + 0) = 1. Bei (0,5; 0,5; 0,5) ist die Länge √0,75 < 1, bei (1; 1; −1) ist sie √3.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für v = (2; 3; 6): Welcher Vektor hat dieselbe Richtung wie v und die Länge 1?

● (2/7; 3/7; 6/7)
○ (2/11; 3/11; 6/11)
○ (2/49; 3/49; 6/49)

|v| = 7, also teilt man durch 7. Durch 11 (die Komponentensumme) oder durch 49 (das Quadrat der Länge) zu teilen ergibt keine Länge 1.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie weit sind A(1 | 1 | 1) und B(3 | 4 | 7) voneinander entfernt?

● 7
○ 11
○ 49

AB = (2; 3; 6), d = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. 11 addiert die Differenzen, 49 lässt die Wurzel weg.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie weit ist A vom Punkt B entfernt (Einheit: 1 m)?

● 5 m
○ 7 m
○ 25 m

A(0 | 1 | 1), B(4 | 1 | 4): AB = (4; 0; 3), d = √(16 + 0 + 9) = 5. 7 addiert die Differenzen, 25 lässt die Wurzel weg.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Im Bild sind a = (3; 0; 0) und b = (0; 4; 0) aneinandergehängt. Wie lang ist a + b?

● 5
○ 7
○ 25

a + b = (3; 4; 0), |a + b| = √(9 + 16) = 5. 7 = |a| + |b| addiert die Längen, 25 lässt die Wurzel weg.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für a = (1; 0; 0) und b = (0; 1; 0) gilt |a + b| = |a| + |b|.

✓ Falsch

|a + b| = |(1; 1; 0)| = √2 ≈ 1,41, aber |a| + |b| = 2. Die Länge einer Summe ist hier kleiner als die Summe der Längen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Vektor a hat die Länge 5. Wie lang ist −3 · a?

● 15
○ −15
○ 2

|−3 · a| = |−3| · |a| = 3 · 5 = 15. Eine Länge ist nie negativ, und man addiert die Faktoren nicht zur Länge.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne |v| für v = (2; 6; 9).

✓ Antwort: 11

|v| = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Der Vektor v = (0; 3; 4) wird durch seine Länge geteilt. Welche zweite Komponente hat der Einheitsvektor (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 0.6

|v| = 5, also ist die zweite Komponente 3/5 = 0,6.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne den Abstand von P(−1 | 2 | 0) und Q(2 | 6 | 12).

✓ Antwort: 13

PQ = (3; 4; 12), d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Der Vektor a = (1; 2; 2) hat die Länge 3. Wie lang ist 4 · a?

✓ Antwort: 12

|4 · a| = 4 · |a| = 12.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Kiste ist 12 dm lang, 4 dm breit und 3 dm hoch. Wie lang ist die Raumdiagonale in dm, also der längste gerade Stab, der hineinpasst?

✓ Antwort: 13

Mit den Kanten als Komponenten (12; 4; 3): √(144 + 16 + 9) = √169 = 13 dm. Über die Mittelstufe: erst die Grundfläche √(144 + 16), dann mit der Höhe 3, dasselbe Ergebnis.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Ein Vektor der Länge 10 zeigt in dieselbe Richtung wie v = (2; 3; 6). Welche dritte Komponente hat er (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 8.6

Der Einheitsvektor ist (2/7; 3/7; 6/7); mit 10 multipliziert: dritte Komponente 60/7 ≈ 8,571 ≈ 8,6.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Drohne fliegt geradlinig von A(2 | 1 | 0) nach B(3 | 3 | 2) (Einheit: 1 m). Wie viele Meter legt sie zurück?

✓ Antwort: 3

AB = (1; 2; 2), d = √(1 + 4 + 4) = 3 m.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 2) und b = (2; 0; 0): Berechne |a + b| − (|a| + |b|) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: -0.88

a + b = (3; 2; 2), |a + b| = √17 ≈ 4,123; |a| + |b| = 3 + 2 = 5. Differenz ≈ −0,88: Die Länge der Summe ist kleiner als die Summe der Längen.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Eine Kiste ist 12 dm lang, 4 dm breit und 3 dm hoch. Bestimme die Länge des längsten geraden Stabs, der hineinpasst, auf zwei Wegen: (1) mit dem Satz des Pythagoras zweimal, (2) als Betrag eines Vektors, wenn eine Ecke im Ursprung liegt. Vergleiche die beiden Rechnungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Weg 1: Diagonale der Grundfläche e² = 12² + 4² = 160; Raumdiagonale d² = e² + 3² = 169, d = 13 dm. Weg 2: Die Raumdiagonale ist der Vektor (12; 4; 3), |v| = √(144 + 16 + 9) = √169 = 13 dm. Beide Wege rechnen dasselbe: Der Betrag fasst die beiden Pythagoras-Schritte in einer Wurzel zusammen.

Zweimal Pythagoras (erst Grundfläche, dann Höhe) und der Betrag des Vektors (12; 4; 3) sind dieselbe Rechnung. Die Raumdiagonale ist 13 dm.