Spiegelpunkte
Der Punkt P(2 | 3 | 4) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt P′?
Erklärung: Die x₁x₂-Ebene misst mit x₃ den Abstand: Nur x₃ wechselt das Vorzeichen. Wer x₁ und x₂ umdreht, spiegelt an der x₃-Achse, nicht an der Ebene.
P und P′ sind eingezeichnet. P′ ist der Spiegelpunkt von P an der x₁x₂-Ebene.
Erklärung: PP′ läuft in x₁-Richtung: P(3 | 2 | 2) und P′(−3 | 2 | 2) unterscheiden sich nur in x₁, das ist die Spiegelung an der x₂x₃-Ebene. An der x₁x₂-Ebene läge P′ senkrecht unter P, bei (3 | 2 | −2).
P und P′ sind eingezeichnet, P′ ist der Spiegelpunkt von P an einer Koordinatenebene. An welcher?
Erklärung: P(2 | 3 | 2) und P′(2 | −3 | 2) unterscheiden sich nur in x₂. Das Vorzeichen von x₂ wechselt an der Ebene ohne x₂-Achse: an der x₁x₃-Ebene.
Der Punkt (5 | −2 | 7) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Welche x₃-Koordinate hat der Spiegelpunkt?
Erklärung: Nur x₃ wechselt das Vorzeichen: 7 wird zu −7.
P(1 | 4 | 3) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Wie lang ist die Strecke PP′?
Erklärung: P′(1 | 4 | −3). PP′ verläuft senkrecht: Der Höhenunterschied ist 3 − (−3) = 6.
Der Punkt Q(2 | 3 | 4) wird an der x₁-Achse gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt Q′?
Erklärung: An der x₁-Achse bleibt x₁, die beiden anderen Koordinaten wechseln das Vorzeichen. Nur x₁ umzudrehen wäre das Spiegeln an der x₂x₃-Ebene.
Der Punkt (0 | 5 | 0) bleibt beim Spiegeln an der x₂-Achse an seinem Platz.
Erklärung: Er liegt auf der Achse: Die beiden anderen Koordinaten sind 0, ihr Vorzeichenwechsel ändert nichts.
P(2 | 3 | 2) und sein Spiegelpunkt P′ sind eingezeichnet. An welcher Koordinatenachse wurde P gespiegelt?
Erklärung: P(2 | 3 | 2) und P′(−2 | −3 | 2) haben dasselbe x₃. Die Koordinate, die bleibt, gehört zur Spiegelachse: x₃. An der x₁-Achse läge P′ bei (2 | −3 | −2), an der x₂-Achse bei (−2 | 3 | −2).
Der Punkt (4 | 2 | 6) wird an der x₃-Achse gespiegelt. Welche x₁-Koordinate hat der Spiegelpunkt?
Erklärung: An der x₃-Achse wechseln x₁ und x₂ das Vorzeichen: (−4 | −2 | 6).
R(3 | −2 | 5) wird an der x₂-Achse gespiegelt. Wie groß ist die Summe der drei Koordinaten von R′?
Erklärung: R′(−3 | −2 | −5): x₂ bleibt, x₁ und x₃ wechseln. Summe: −3 − 2 − 5 = −10.
Der Punkt (3 | −1 | 2) wird am Ursprung gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt?
Erklärung: Am Ursprung wechseln alle drei Vorzeichen: 3 → −3, −1 → 1, 2 → −2. Aus −1 wird +1: Auch negative Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
Für P(4 | 2 | 6) und P′(−4 | −2 | −6) ist der Ursprung O der Mittelpunkt der Strecke PP′.
Erklärung: Der Mittelpunkt hat die Mittelwerte der Koordinaten: (4 + (−4))/2 = 0, (2 + (−2))/2 = 0, (6 + (−6))/2 = 0.
P und P′ sind eingezeichnet. Wie wurde P gespiegelt, um P′ zu erhalten?
Erklärung: P(2 | 3 | 1) und P′(−2 | −3 | −1) unterscheiden sich in allen drei Vorzeichen: Spiegelung am Ursprung.
Welche x₂-Koordinate hat der Spiegelpunkt von (6 | 8 | −3) am Ursprung?
Erklärung: Alle Vorzeichen wechseln: 8 wird −8.
Ein Körper ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und A(2 | −5 | 1) ist eine Ecke. B(a | b | c) ist die Ecke, die zu A symmetrisch liegt. Wie groß ist a + b + c?
Erklärung: B ist der Spiegelpunkt von A am Ursprung: B(−2 | 5 | −1). Summe: −2 + 5 − 1 = 2.
Der Punkt P(4 | −3 | 2) wird (a) an der x₁x₂-Ebene, (b) an der x₂-Achse und (c) am Ursprung gespiegelt. Gib die drei Spiegelpunkte an, begründe jeweils, welche Koordinaten das Vorzeichen wechseln, und berechne die Länge der Strecke von P zum Spiegelpunkt aus (a).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Ebene ändert nur die Koordinate der fehlenden Achse, die Achse die beiden anderen, der Ursprung alle drei. Der Abstand zur x₁x₂-Ebene ist |x₃| = 2, also ist PP₁ = 4.