Spiegelpunkte

Reflected points

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
GeometrieKoordinatenSymmetrieSpiegelung

Wird ein Punkt an einer Koordinatenebene, einer Koordinatenachse oder dem Ursprung gespiegelt, ändern sich seine Koordinaten nach einer festen Regel: An einer Ebene wechselt nur die Koordinate der fehlenden Achse das Vorzeichen, an einer Achse wechseln die beiden anderen, am Ursprung alle drei. So lässt sich Symmetrie aus den Koordinaten begründen. Räumt aus, an einer Ebene die beiden Ebenenkoordinaten oder an einer Achse nur die eigene Koordinate umzudrehen. Bereitet Symmetrieargumente an Körpern und die Spiegelung an allgemeinen Ebenen vor.

Spiegelt man einen Punkt P an einer Koordinatenebene, liegt der Spiegelpunkt P′ auf der anderen Seite, genauso weit entfernt. Dabei wechselt nur die Koordinate das Vorzeichen, die den Abstand zur Ebene misst – die der fehlenden Achse. An der x₁x₂-Ebene wird aus der Punkt .

Verändere P und beobachte, welche Koordinate von P′ anders ist als bei P.

An einer Koordinatenachse bleibt die Koordinate der Achse, die beiden anderen wechseln das Vorzeichen: An der x₁-Achse wird zu . Am Ursprung wechseln alle drei: ; O liegt genau in der Mitte von PP′.

Warum diese Regel? Die Koordinate x₃ ist der Abstand zur x₁x₂-Ebene mit Vorzeichen: Vier Einheiten über dem Boden werden zu vier Einheiten darunter. An einer Achse dreht sich alles um, was nicht auf der Achse liegt, am Ursprung alles.

Umgekehrt begründest du damit Symmetrie: Gehören zwei Ecken eines Körpers wie und zusammen, liegt er symmetrisch zur x₂x₃-Ebene – nur x₁ wechselt.

Schalte zwischen Achse und Ursprung um. Welche Koordinate von P′ ändert sich dabei?

Voraussetzungen (1)

Besondere Lagen
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Punkt P(2 | 3 | 4) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt P′?

  • ● P′(2 | 3 | −4)
  • ○ P′(−2 | −3 | 4)
  • ○ P′(−2 | 3 | 4)
Die x₁x₂-Ebene misst mit x₃ den Abstand: Nur x₃ wechselt das Vorzeichen. Wer x₁ und x₂ umdreht, spiegelt an der x₃-Achse, nicht an der Ebene.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

P und P′ sind eingezeichnet. P′ ist der Spiegelpunkt von P an der x₁x₂-Ebene.

✓ Falsch
PP′ läuft in x₁-Richtung: P(3 | 2 | 2) und P′(−3 | 2 | 2) unterscheiden sich nur in x₁, das ist die Spiegelung an der x₂x₃-Ebene. An der x₁x₂-Ebene läge P′ senkrecht unter P, bei (3 | 2 | −2).
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

P und P′ sind eingezeichnet, P′ ist der Spiegelpunkt von P an einer Koordinatenebene. An welcher?

  • ● an der x₁x₃-Ebene
  • ○ an der x₁x₂-Ebene
  • ○ an der x₂x₃-Ebene
P(2 | 3 | 2) und P′(2 | −3 | 2) unterscheiden sich nur in x₂. Das Vorzeichen von x₂ wechselt an der Ebene ohne x₂-Achse: an der x₁x₃-Ebene.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Punkt Q(2 | 3 | 4) wird an der x₁-Achse gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt Q′?

  • ● Q′(2 | −3 | −4)
  • ○ Q′(−2 | 3 | 4)
  • ○ Q′(2 | 3 | −4)
An der x₁-Achse bleibt x₁, die beiden anderen Koordinaten wechseln das Vorzeichen. Nur x₁ umzudrehen wäre das Spiegeln an der x₂x₃-Ebene.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Punkt (0 | 5 | 0) bleibt beim Spiegeln an der x₂-Achse an seinem Platz.

✓ Wahr
Er liegt auf der Achse: Die beiden anderen Koordinaten sind 0, ihr Vorzeichenwechsel ändert nichts.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

P(2 | 3 | 2) und sein Spiegelpunkt P′ sind eingezeichnet. An welcher Koordinatenachse wurde P gespiegelt?

  • ● an der x₃-Achse
  • ○ an der x₁-Achse
  • ○ an der x₂-Achse
P(2 | 3 | 2) und P′(−2 | −3 | 2) haben dasselbe x₃. Die Koordinate, die bleibt, gehört zur Spiegelachse: x₃. An der x₁-Achse läge P′ bei (2 | −3 | −2), an der x₂-Achse bei (−2 | 3 | −2).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Punkt (3 | −1 | 2) wird am Ursprung gespiegelt. Wie lautet der Spiegelpunkt?

  • ● (−3 | 1 | −2)
  • ○ (3 | 1 | −2)
  • ○ (−3 | −1 | −2)
Am Ursprung wechseln alle drei Vorzeichen: 3 → −3, −1 → 1, 2 → −2. Aus −1 wird +1: Auch negative Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für P(4 | 2 | 6) und P′(−4 | −2 | −6) ist der Ursprung O der Mittelpunkt der Strecke PP′.

✓ Wahr
Der Mittelpunkt hat die Mittelwerte der Koordinaten: (4 + (−4))/2 = 0, (2 + (−2))/2 = 0, (6 + (−6))/2 = 0.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

P und P′ sind eingezeichnet. Wie wurde P gespiegelt, um P′ zu erhalten?

  • ● am Ursprung
  • ○ an der x₁x₂-Ebene
  • ○ an der x₂-Achse
P(2 | 3 | 1) und P′(−2 | −3 | −1) unterscheiden sich in allen drei Vorzeichen: Spiegelung am Ursprung.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Der Punkt (5 | −2 | 7) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Welche x₃-Koordinate hat der Spiegelpunkt?

✓ Antwort: -7
Nur x₃ wechselt das Vorzeichen: 7 wird zu −7.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Der Punkt (4 | 2 | 6) wird an der x₃-Achse gespiegelt. Welche x₁-Koordinate hat der Spiegelpunkt?

✓ Antwort: -4
An der x₃-Achse wechseln x₁ und x₂ das Vorzeichen: (−4 | −2 | 6).
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Welche x₂-Koordinate hat der Spiegelpunkt von (6 | 8 | −3) am Ursprung?

✓ Antwort: -8
Alle Vorzeichen wechseln: 8 wird −8.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

P(1 | 4 | 3) wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt. Wie lang ist die Strecke PP′?

✓ Antwort: 6
P′(1 | 4 | −3). PP′ verläuft senkrecht: Der Höhenunterschied ist 3 − (−3) = 6.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

R(3 | −2 | 5) wird an der x₂-Achse gespiegelt. Wie groß ist die Summe der drei Koordinaten von R′?

✓ Antwort: -10
R′(−3 | −2 | −5): x₂ bleibt, x₁ und x₃ wechseln. Summe: −3 − 2 − 5 = −10.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Körper ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und A(2 | −5 | 1) ist eine Ecke. B(a | b | c) ist die Ecke, die zu A symmetrisch liegt. Wie groß ist a + b + c?

✓ Antwort: 2
B ist der Spiegelpunkt von A am Ursprung: B(−2 | 5 | −1). Summe: −2 + 5 − 1 = 2.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Punkt P(4 | −3 | 2) wird (a) an der x₁x₂-Ebene, (b) an der x₂-Achse und (c) am Ursprung gespiegelt. Gib die drei Spiegelpunkte an, begründe jeweils, welche Koordinaten das Vorzeichen wechseln, und berechne die Länge der Strecke von P zum Spiegelpunkt aus (a). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (a) Ebene x₁x₂: nur x₃ wechselt, P₁(4 | −3 | −2). (b) Achse x₂: x₂ bleibt, x₁ und x₃ wechseln, P₂(−4 | −3 | −2). (c) Ursprung: alle drei wechseln, P₃(−4 | 3 | −2). Strecke PP₁: senkrecht zur Ebene, Länge 2 + 2 = 4.
Die Ebene ändert nur die Koordinate der fehlenden Achse, die Achse die beiden anderen, der Ursprung alle drei. Der Abstand zur x₁x₂-Ebene ist |x₃| = 2, also ist PP₁ = 4.