Explorer /math /Summe und Differenz /Übung

Summe und Differenz

16 Aufgaben · interaktiv

Für a = (1; 2; 3) und b = (2; −1; 4): Wie lautet a + b?

Erklärung: Komponentenweise addieren: (1 + 2; 2 + (−1); 3 + 4) = (3; 1; 7). (−1; 3; −1) wäre a − b, (2; −2; 12) entsteht durch Multiplizieren.

Im Bild ist b an die Spitze von a angehängt. Der Pfeil c vom Anfang von a zur Spitze von b ist die Summe a + b.

Erklärung: Hintereinander ausgeführte Verschiebungen ergeben die Verschiebung vom Anfang zum Ende: c = a + b.

Im Bild sind a = (2; 0; 1) und b = (1; 2; 0) aneinandergehängt. Welcher Vektor ist der Summenpfeil vom Ursprung zur Spitze von b?

Erklärung: Der Summenpfeil führt zu (2 + 1 | 0 + 2 | 1 + 0) = (3 | 2 | 1). (1; −2; 1) ist a − b, (2; 2; 1) vergisst die erste Komponente von b.

Für a = (4; −2; 5) und b = (−3; 6; 1): Welche zweite Komponente hat a + b?

Erklärung: −2 + 6 = 4.

Eine Drohne startet in A(2 | 2 | 2), fliegt erst um (3; 1; 2) und dann um (−1; 4; −2). Welche x₁-Koordinate hat ihr Endpunkt?

Erklärung: Gesamtverschiebung: (3 − 1; 1 + 4; 2 − 2) = (2; 5; 0). Endpunkt (4 | 7 | 2), also x₁ = 2 + 2 = 4.

Für a = (5; 2; 4) und b = (1; 3; −2): Wie lautet a − b?

Erklärung: Komponentenweise subtrahieren: (5 − 1; 2 − 3; 4 − (−2)) = (4; −1; 6). (−4; 1; −6) ist b − a, (6; 5; 2) ist a + b.

Für a = (2; 2; 2) und b = (1; 1; 1) gilt a − b = b − a.

Erklärung: a − b = (1; 1; 1), aber b − a = (−1; −1; −1): Die Differenz ist nicht vertauschbar.

Im Bild gehen a = (3; 1; 2) und b = (1; 3; 0) vom Ursprung aus. Der Pfeil c führt von der Spitze von b zur Spitze von a. Wie lautet c?

Erklärung: c = a − b = (3 − 1; 1 − 3; 2 − 0) = (2; −2; 2). (−2; 2; −2) wäre b − a, der Pfeil in Gegenrichtung.

Für a = (6; 0; −3) und b = (2; 5; −7): Welche dritte Komponente hat a − b?

Erklärung: −3 − (−7) = −3 + 7 = 4.

Für a = (2; 1; 3) und b = (−1; 4; 0) sei a − b = (p; q; r). Wie groß ist p + q + r?

Erklärung: a − b = (2 − (−1); 1 − 4; 3 − 0) = (3; −3; 3). Summe: 3 − 3 + 3 = 3.

Für a = (1; 0; 2), b = (3; 1; 0) und c = (0; 2; 1): Welcher Term hat denselben Wert wie (a + b) + c?

Erklärung: (a + b) + c = (4; 3; 3) = a + (b + c): Die Summe darf beliebig geklammert werden. a − (b + c) = (−2; −3; 1) und (a − b) + c = (−2; 1; 3) sind andere Vektoren.

Für a = (1; 2; 0) und b = (2; 0; 1) im Bild führen beide Wege, erst a dann b und erst b dann a, zum selben Punkt.

Erklärung: a + b = b + a = (3; 2; 1): Die beiden Wege sind die zwei Seitenpaare eines Parallelogramms und enden in derselben Ecke.

Für a = (3; 1; 0) und b = (1; 4; 2) ist a − b = (2; −3; −2). Wie lautet b − a?

Erklärung: b − a = −(a − b): Alle drei Vorzeichen kehren sich um. (2; −3; −2) wäre unverändert, (−2; −3; 2) dreht nur zwei Vorzeichen um.

Für a = (2; 5; 7): Welche dritte Komponente hat a + (−a)?

Erklärung: a + (−a) ist der Nullvektor (0; 0; 0).

Für a = (1; 2; 0), b = (2; 0; 1) und c = (5; 5; 5): Welche erste Komponente hat (a + c) + (b − c)?

Erklärung: Mit den Rechengesetzen fällt c weg: (a + c) + (b − c) = a + b = (3; 2; 1). Erste Komponente: 3.

Eine Drohne startet in A(1 | 1 | 0) und fliegt nacheinander um a = (2; 3; 1), b = (−1; 0; 2) und c = (0; −2; −3). Berechne die Gesamtverschiebung a + b + c und den Endpunkt E. Zeige rechnerisch, dass die Reihenfolge b, a, c denselben Endpunkt liefert, und skizziere die Flugbahn als Pfeilkette. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

Foto aufnehmen Datei hochladen

Bewertung Cloud (Gemini) Lokal (Gemma 4) Lokal nicht verfügbar – Browser ohne WebGPU.

Cloud-Bewertung gesperrt — Passwort eingeben.

Erklärung: Hintereinander ausgeführte Verschiebungen addieren sich komponentenweise, und die Summe ist vertauschbar. Die Ketten a-b-c und b-a-c enden im selben Punkt.

Aufgabe 1 von 16