Summe und Differenz

Sum and difference

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
GeometrieVektorenKoordinaten

Zwei Verschiebungen hintereinander ergeben wieder eine: Die Summe a + b hängt b an die Spitze von a und wird komponentenweise berechnet, die Differenz a − b ist a + (−b) und führt bei gleichem Anfang von der Spitze von b zur Spitze von a. Das Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten für die Summe, für die Differenz nicht. Räumt aus, Pfeile „Spitze an Spitze“ zu addieren, a − b und b − a gleichzusetzen und Komponenten zu multiplizieren. Bereitet Vielfache, Linearkombinationen und das Skalarprodukt vor.

Zwei Verschiebungen hintereinander sind wieder eine Verschiebung. Für die Summe hängst du den Pfeil b an die Spitze von a; die Summe führt vom Anfang von a zur Spitze von b. Gerechnet wird komponentenweise:

Ob du erst a und dann b fliegst oder erst b und dann a: Du landest im selben Punkt, die beiden Wege bilden ein Parallelogramm. Also gilt , und auch beim Klammern ist es egal.

Ein Beispiel: Fliegt die Drohne erst um und dann um , ist die Gesamtverschiebung . Die Zwischenstation ist gleichgültig, nur Anfang und Ende zählen.

Ändere b. Wie verändert sich die violette Summe, und wo liegt die gestrichelte andere Reihenfolge?

Die Differenz ist : erst gegen b fliegen, dann a. Wenn a und b im selben Punkt beginnen, führt a − b von der Spitze von b zur Spitze von a. Komponentenweise: . Anders als die Summe ist die Differenz nicht vertauschbar: , alle Vorzeichen kehren sich um. Und ist der Nullvektor : Hin und zurück ergibt keine Verschiebung.

Verändere b. Welche Zahlen ändern sich in a − b, wenn nur b₂ wächst?

Voraussetzungen (1)

Vektoren als Verschiebungen
Klasse 12
›

Ermöglicht (1)

Vielfache von Vektoren
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 3) und b = (2; −1; 4): Wie lautet a + b?

  • ● (3; 1; 7)
  • ○ (−1; 3; −1)
  • ○ (2; −2; 12)
Komponentenweise addieren: (1 + 2; 2 + (−1); 3 + 4) = (3; 1; 7). (−1; 3; −1) wäre a − b, (2; −2; 12) entsteht durch Multiplizieren.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Im Bild ist b an die Spitze von a angehängt. Der Pfeil c vom Anfang von a zur Spitze von b ist die Summe a + b.

✓ Wahr
Hintereinander ausgeführte Verschiebungen ergeben die Verschiebung vom Anfang zum Ende: c = a + b.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Bild sind a = (2; 0; 1) und b = (1; 2; 0) aneinandergehängt. Welcher Vektor ist der Summenpfeil vom Ursprung zur Spitze von b?

  • ● (3; 2; 1)
  • ○ (1; −2; 1)
  • ○ (2; 2; 1)
Der Summenpfeil führt zu (2 + 1 | 0 + 2 | 1 + 0) = (3 | 2 | 1). (1; −2; 1) ist a − b, (2; 2; 1) vergisst die erste Komponente von b.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für a = (5; 2; 4) und b = (1; 3; −2): Wie lautet a − b?

  • ● (4; −1; 6)
  • ○ (−4; 1; −6)
  • ○ (6; 5; 2)
Komponentenweise subtrahieren: (5 − 1; 2 − 3; 4 − (−2)) = (4; −1; 6). (−4; 1; −6) ist b − a, (6; 5; 2) ist a + b.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für a = (2; 2; 2) und b = (1; 1; 1) gilt a − b = b − a.

✓ Falsch
a − b = (1; 1; 1), aber b − a = (−1; −1; −1): Die Differenz ist nicht vertauschbar.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Im Bild gehen a = (3; 1; 2) und b = (1; 3; 0) vom Ursprung aus. Der Pfeil c führt von der Spitze von b zur Spitze von a. Wie lautet c?

  • ● (2; −2; 2)
  • ○ (−2; 2; −2)
  • ○ (4; 4; 2)
c = a − b = (3 − 1; 1 − 3; 2 − 0) = (2; −2; 2). (−2; 2; −2) wäre b − a, der Pfeil in Gegenrichtung.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für a = (1; 0; 2), b = (3; 1; 0) und c = (0; 2; 1): Welcher Term hat denselben Wert wie (a + b) + c?

  • ● a + (b + c)
  • ○ a − (b + c)
  • ○ (a − b) + c
(a + b) + c = (4; 3; 3) = a + (b + c): Die Summe darf beliebig geklammert werden. a − (b + c) = (−2; −3; 1) und (a − b) + c = (−2; 1; 3) sind andere Vektoren.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 0) und b = (2; 0; 1) im Bild führen beide Wege, erst a dann b und erst b dann a, zum selben Punkt.

✓ Wahr
a + b = b + a = (3; 2; 1): Die beiden Wege sind die zwei Seitenpaare eines Parallelogramms und enden in derselben Ecke.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Für a = (3; 1; 0) und b = (1; 4; 2) ist a − b = (2; −3; −2). Wie lautet b − a?

  • ● (−2; 3; 2)
  • ○ (2; −3; −2)
  • ○ (−2; −3; 2)
b − a = −(a − b): Alle drei Vorzeichen kehren sich um. (2; −3; −2) wäre unverändert, (−2; −3; 2) dreht nur zwei Vorzeichen um.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Für a = (4; −2; 5) und b = (−3; 6; 1): Welche zweite Komponente hat a + b?

✓ Antwort: 4
−2 + 6 = 4.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Für a = (6; 0; −3) und b = (2; 5; −7): Welche dritte Komponente hat a − b?

✓ Antwort: 4
−3 − (−7) = −3 + 7 = 4.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Für a = (2; 5; 7): Welche dritte Komponente hat a + (−a)?

✓ Antwort: 0
a + (−a) ist der Nullvektor (0; 0; 0).
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Drohne startet in A(2 | 2 | 2), fliegt erst um (3; 1; 2) und dann um (−1; 4; −2). Welche x₁-Koordinate hat ihr Endpunkt?

✓ Antwort: 4
Gesamtverschiebung: (3 − 1; 1 + 4; 2 − 2) = (2; 5; 0). Endpunkt (4 | 7 | 2), also x₁ = 2 + 2 = 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für a = (2; 1; 3) und b = (−1; 4; 0) sei a − b = (p; q; r). Wie groß ist p + q + r?

✓ Antwort: 3
a − b = (2 − (−1); 1 − 4; 3 − 0) = (3; −3; 3). Summe: 3 − 3 + 3 = 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 0), b = (2; 0; 1) und c = (5; 5; 5): Welche erste Komponente hat (a + c) + (b − c)?

✓ Antwort: 3
Mit den Rechengesetzen fällt c weg: (a + c) + (b − c) = a + b = (3; 2; 1). Erste Komponente: 3.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Drohne startet in A(1 | 1 | 0) und fliegt nacheinander um a = (2; 3; 1), b = (−1; 0; 2) und c = (0; −2; −3). Berechne die Gesamtverschiebung a + b + c und den Endpunkt E. Zeige rechnerisch, dass die Reihenfolge b, a, c denselben Endpunkt liefert, und skizziere die Flugbahn als Pfeilkette. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a + b + c = (2 − 1 + 0; 3 + 0 − 2; 1 + 2 − 3) = (1; 1; 0). E = A + (1; 1; 0) = (2 | 2 | 0). Andere Reihenfolge: b + a + c = (−1 + 2 + 0; 0 + 3 − 2; 2 + 1 − 3) = (1; 1; 0), also derselbe Endpunkt, weil die Summe vertauschbar ist. Skizze: drei aneinandergehängte Pfeile von A aus.
Hintereinander ausgeführte Verschiebungen addieren sich komponentenweise, und die Summe ist vertauschbar. Die Ketten a-b-c und b-a-c enden im selben Punkt.