Der Verbindungsvektor
Für A(1 | 2 | 3) und B(4 | 0 | 5): Wie lautet der Verbindungsvektor AB?
Erklärung: Spitze minus Fuß: (4 − 1; 0 − 2; 5 − 3) = (3; −2; 2). (−3; 2; −2) wäre BA, (5; 2; 8) entsteht durch Addieren der Koordinaten.
Für A(1 | 1 | 1) und B(3 | 2 | 1) ist AB = (−2; −1; 0).
Erklärung: Man rechnet Zielpunkt minus Startpunkt: AB = (3 − 1; 2 − 1; 1 − 1) = (2; 1; 0). (−2; −1; 0) wäre BA.
Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung von A nach B im Bild?
Erklärung: A(2 | 1 | 0), B(3 | 3 | 3): AB = (3 − 2; 3 − 1; 3 − 0) = (1; 2; 3). (3; 3; 3) ist der Ortsvektor von B, (−1; −2; −3) ist BA.
Berechne die zweite Komponente von AB für A(−1 | 4 | 2) und B(3 | −2 | 5).
Erklärung: x₂: −2 − 4 = −6. Ziel minus Start, auch mit negativen Zahlen.
Für A(3 | −2 | 1) und B(0 | 4 | −5) ist AB = (a; b; c). Berechne a + b + c.
Erklärung: AB = (0 − 3; 4 − (−2); −5 − 1) = (−3; 6; −6). Summe: −3 + 6 − 6 = −3.
Der Punkt A(2 | 1 | 4) wird durch den Vektor AB = (3; −2; 1) verschoben. Welche Koordinaten hat B?
Erklärung: B = A + AB = (2 + 3 | 1 − 2 | 4 + 1) = (5 | −1 | 5). B(−1 | 3 | 3) entsteht durch Subtraktion, B(3 | −2 | 1) durch Übernahme der Vektorzahlen als Punkt.
Für A(1 | 2 | 3) und AB = (0; 0; 0) gilt B = A.
Erklärung: Der Nullvektor verschiebt nicht: B = (1 + 0 | 2 + 0 | 3 + 0) = A.
Der Punkt B(4 | 4 | 4) ist der Endpunkt des Vektors AB = (1; 2; 3). Welche Koordinaten hat der Anfangspunkt A?
Erklärung: Aus B = A + AB folgt A = B − AB = (4 − 1 | 4 − 2 | 4 − 3) = (3 | 2 | 1). A(5 | 6 | 7) addiert statt zu subtrahieren.
Der Punkt A(6 | 3 | −2) wird um den Vektor (−4; 1; 5) verschoben. Welche x₁-Koordinate hat der Bildpunkt?
Erklärung: 6 + (−4) = 2.
A(0 | 0 | 0), B(4 | 1 | 0) und D(1 | 3 | 0) sind drei Ecken des Parallelogramms ABCD. Es gilt C = B + AD. Welche x₂-Koordinate hat C?
Erklärung: AD = (1; 3; 0). C = B + AD = (5 | 4 | 0). Die x₂-Koordinate ist 1 + 3 = 4.
Es gilt AB = (2; −1; 4). Wie lautet BA?
Erklärung: BA führt zurück von B nach A: BA = −AB, alle drei Vorzeichen wechseln. (−2; −1; −4) dreht nur zwei der drei Vorzeichen um.
Gilt AB = (0; 5; 0), dann ist BA = (0; −5; 0).
Erklärung: BA = −AB: Aus 5 wird −5, die Nullen bleiben Nullen.
Im Bild führt ein Pfeil von A nach B. Wie lautet der Vektor BA?
Erklärung: A(4 | 1 | 0), B(1 | 3 | 2): BA = A − B = (4 − 1; 1 − 3; 0 − 2) = (3; −2; −2). (−3; 2; 2) ist AB.
Es gilt AB = (5; −3; 2). Welche zweite Komponente hat BA?
Erklärung: BA = −AB = (−5; 3; −2): Die zweite Komponente ist 3.
Für A(1 | 2 | 3) ist BA = (−2; 4; 0). Welche x₁-Koordinate hat B?
Erklärung: BA = A − B, also B = A − BA = (1 − (−2) | 2 − 4 | 3 − 0) = (3 | −2 | 3). x₁ = 3.
Die Punkte A(2 | −1 | 3), B(5 | 1 | −1) und C(2 | 4 | 3) bilden ein Dreieck. Berechne AB, BC und CA sowie BA. Erkläre, woran man an den Zahlen sieht, dass BA und AB entgegengesetzt gerichtet sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Verbindungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt, Komponente für Komponente. BA vertauscht die Rollen und ist deshalb −AB.