Der Verbindungsvektor

The connecting vector

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

GeometrieVektorenKoordinaten

Der Verbindungsvektor AB beschreibt die Verschiebung von A nach B und wird als „Spitze minus Fuß“ berechnet: AB = B − A, komponentenweise. Umgekehrt findet man den Zielpunkt aus B = A + AB, und BA = −AB kehrt alle Vorzeichen um. Räumt aus, die Punkte in der falschen Reihenfolge zu subtrahieren, Koordinaten zu addieren statt zu subtrahieren oder BA und AB zu verwechseln. Bereitet Richtungsvektoren von Geraden, Abstände und das Skalarprodukt vor.

Die Drohne fliegt vom Punkt A zum Punkt B. Welche Verschiebung ist das? Der Vektor, der A nach B verschiebt, heißt Verbindungsvektor $A B$ . Man rechnet „Spitze minus Fuß“, Komponente für Komponente:

$A B = B - A = b_{1} - a_{1} b_{2} - a_{2} b_{3} - a_{3}$

Für $A (1 ∣ 1 ∣ 0)$ und $B (4 ∣ 3 ∣ 2)$ ist $A B = (3; 2; 2)$ . Es ist die Verschiebung, nicht die Lage von B: Die Zahlen von B allein wären der Ortsvektor.

Umgekehrt findest du den Zielpunkt aus $B = A + A B$ , den Anfangspunkt aus $A = B - A B$ . Und die Reihenfolge zählt: Der Rückweg $B A = - A B$ hat gleiche Länge, aber alle Vorzeichen umgekehrt.

Die Drohne startet in $A (1 ∣ 1 ∣ 0)$ und landet in $B (4 ∣ 3 ∣ 2)$ : Sie ist 3 nach vorn, 2 nach rechts und 2 nach oben geflogen. Das sind genau die Zahlen von AB. Der Vektor bündelt die Flugbewegung in drei Zahlen, und dieselben Zahlen gelten für jeden anderen Start.

Zur Kontrolle rechnest du rückwärts: $A + A B$ muss B ergeben. Fällt dir die Reihenfolge nicht ein, frag dich: Wohin will ich? Das Ziel steht vorn.

Verschiebe B. Welche Zahl in AB ändert sich, wenn nur x₃ von B wächst? Was passiert mit BA?

Voraussetzungen (1)

Vektoren als Verschiebungen

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Länge und Abstand

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für A(1 | 2 | 3) und B(4 | 0 | 5): Wie lautet der Verbindungsvektor AB?

● (3; −2; 2)
○ (−3; 2; −2)
○ (5; 2; 8)

Spitze minus Fuß: (4 − 1; 0 − 2; 5 − 3) = (3; −2; 2). (−3; 2; −2) wäre BA, (5; 2; 8) entsteht durch Addieren der Koordinaten.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für A(1 | 1 | 1) und B(3 | 2 | 1) ist AB = (−2; −1; 0).

✓ Falsch

Man rechnet Zielpunkt minus Startpunkt: AB = (3 − 1; 2 − 1; 1 − 1) = (2; 1; 0). (−2; −1; 0) wäre BA.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung von A nach B im Bild?

● (1; 2; 3)
○ (3; 3; 3)
○ (−1; −2; −3)

A(2 | 1 | 0), B(3 | 3 | 3): AB = (3 − 2; 3 − 1; 3 − 0) = (1; 2; 3). (3; 3; 3) ist der Ortsvektor von B, (−1; −2; −3) ist BA.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Punkt A(2 | 1 | 4) wird durch den Vektor AB = (3; −2; 1) verschoben. Welche Koordinaten hat B?

● B(5 | −1 | 5)
○ B(−1 | 3 | 3)
○ B(3 | −2 | 1)

B = A + AB = (2 + 3 | 1 − 2 | 4 + 1) = (5 | −1 | 5). B(−1 | 3 | 3) entsteht durch Subtraktion, B(3 | −2 | 1) durch Übernahme der Vektorzahlen als Punkt.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für A(1 | 2 | 3) und AB = (0; 0; 0) gilt B = A.

✓ Wahr

Der Nullvektor verschiebt nicht: B = (1 + 0 | 2 + 0 | 3 + 0) = A.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Punkt B(4 | 4 | 4) ist der Endpunkt des Vektors AB = (1; 2; 3). Welche Koordinaten hat der Anfangspunkt A?

● A(3 | 2 | 1)
○ A(5 | 6 | 7)
○ A(1 | 2 | 3)

Aus B = A + AB folgt A = B − AB = (4 − 1 | 4 − 2 | 4 − 3) = (3 | 2 | 1). A(5 | 6 | 7) addiert statt zu subtrahieren.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Es gilt AB = (2; −1; 4). Wie lautet BA?

● (−2; 1; −4)
○ (2; −1; 4)
○ (−2; −1; −4)

BA führt zurück von B nach A: BA = −AB, alle drei Vorzeichen wechseln. (−2; −1; −4) dreht nur zwei der drei Vorzeichen um.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Gilt AB = (0; 5; 0), dann ist BA = (0; −5; 0).

✓ Wahr

BA = −AB: Aus 5 wird −5, die Nullen bleiben Nullen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Im Bild führt ein Pfeil von A nach B. Wie lautet der Vektor BA?

● (3; −2; −2)
○ (−3; 2; 2)
○ (3; 2; 2)

A(4 | 1 | 0), B(1 | 3 | 2): BA = A − B = (4 − 1; 1 − 3; 0 − 2) = (3; −2; −2). (−3; 2; 2) ist AB.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne die zweite Komponente von AB für A(−1 | 4 | 2) und B(3 | −2 | 5).

✓ Antwort: -6

x₂: −2 − 4 = −6. Ziel minus Start, auch mit negativen Zahlen.

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Der Punkt A(6 | 3 | −2) wird um den Vektor (−4; 1; 5) verschoben. Welche x₁-Koordinate hat der Bildpunkt?

✓ Antwort: 2

6 + (−4) = 2.

Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Es gilt AB = (5; −3; 2). Welche zweite Komponente hat BA?

✓ Antwort: 3

BA = −AB = (−5; 3; −2): Die zweite Komponente ist 3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für A(3 | −2 | 1) und B(0 | 4 | −5) ist AB = (a; b; c). Berechne a + b + c.

✓ Antwort: -3

AB = (0 − 3; 4 − (−2); −5 − 1) = (−3; 6; −6). Summe: −3 + 6 − 6 = −3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

A(0 | 0 | 0), B(4 | 1 | 0) und D(1 | 3 | 0) sind drei Ecken des Parallelogramms ABCD. Es gilt C = B + AD. Welche x₂-Koordinate hat C?

✓ Antwort: 4

AD = (1; 3; 0). C = B + AD = (5 | 4 | 0). Die x₂-Koordinate ist 1 + 3 = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für A(1 | 2 | 3) ist BA = (−2; 4; 0). Welche x₁-Koordinate hat B?

✓ Antwort: 3

BA = A − B, also B = A − BA = (1 − (−2) | 2 − 4 | 3 − 0) = (3 | −2 | 3). x₁ = 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Punkte A(2 | −1 | 3), B(5 | 1 | −1) und C(2 | 4 | 3) bilden ein Dreieck. Berechne AB, BC und CA sowie BA. Erkläre, woran man an den Zahlen sieht, dass BA und AB entgegengesetzt gerichtet sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: AB = (5 − 2; 1 − (−1); −1 − 3) = (3; 2; −4). BC = (2 − 5; 4 − 1; 3 − (−1)) = (−3; 3; 4). CA = (2 − 2; −1 − 4; 3 − 3) = (0; −5; 0). BA = (−3; −2; 4) = −AB: alle drei Komponenten haben das entgegengesetzte Vorzeichen, gleiche Beträge.

Verbindungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt, Komponente für Komponente. BA vertauscht die Rollen und ist deshalb −AB.