Vielfache von Vektoren
Wie lautet 3 · (2; −1; 4)?
Erklärung: Alle drei Komponenten werden mit 3 multipliziert: (6; −3; 12). Nur die erste zu vervielfachen oder 3 zu addieren wären typische Fehler.
Für v = (1; 2; 3) zeigt −2 · v = (−2; −4; −6) in dieselbe Richtung wie v und ist doppelt so lang.
Erklärung: Der Faktor −2 kehrt die Richtung um; nur die Länge verdoppelt sich. Das Minuszeichen heißt nicht „kürzer“.
Im Bild sind v und w = s · v eingezeichnet. Welche Zahl ist s?
Erklärung: w zeigt in die Gegenrichtung (s < 0) und ist halb so lang (|s| = 0,5): s = −0,5. Ein positives s hätte die Richtung von v.
Berechne die dritte Komponente von −2 · (3; 1; −5).
Erklärung: −2 · (−5) = 10.
Eine Drohne bewegt sich in jeder Minute um den Vektor (1; 2; 3) (Einheit: Meter). Wie viele Meter steigt sie bei gleicher Bewegung in 2,5 Minuten?
Erklärung: Die Verschiebung nach 2,5 Minuten ist 2,5 · (1; 2; 3) = (2,5; 5; 7,5). Die x₃-Komponente ist 7,5 m.
Welcher Vektor ist parallel zu a = (1; 2; 3)?
Erklärung: (−2; −4; −6) = −2 · a, dieselbe Zahl erklärt alle drei Komponenten. (2; 4; 5) passt nur in zwei Komponenten (2 · 3 = 6 ≠ 5).
Die Vektoren (2; 4; 6) und (1; 2; 4) sind parallel.
Erklärung: 2 · (1; 2; 4) = (2; 4; 8) ≠ (2; 4; 6): Die dritte Komponente passt nicht zu demselben Faktor 2.
Im Bild sind die Pfeile a = (1; 2; 1), b = (−2; −4; −2) und c = (1; 2; 2) gezeichnet. Welche beiden sind parallel?
Erklärung: b = −2 · a: Alle Komponenten von a wurden mit −2 multipliziert. c stimmt nur in zwei Komponenten mit a überein (die dritte ist 2 statt 1).
Es gilt b = s · a mit a = (2; −4; 6) und b = (−1; 2; −3). Wie groß ist s?
Erklärung: s = −1 : 2 = −0,5; die anderen Komponenten bestätigen es: −4 · (−0,5) = 2 und 6 · (−0,5) = −3.
Für welchen Wert von t sind die Vektoren (1; 3; 2) und (2; 6; t) parallel?
Erklärung: Der Faktor ist 2 (2 = 2 · 1, 6 = 2 · 3), also t = 2 · 2 = 4.
Für a = (1; 0; 2) und b = (2; 1; 0): Wie lautet 2a − 3b?
Erklärung: 2a = (2; 0; 4), 3b = (6; 3; 0). 2a − 3b = (−4; −3; 4). (4; 3; −4) wäre 3b − 2a, (8; 3; 4) wäre 2a + 3b.
Für a = (1; 2; 3) gilt 2a + a = (3; 6; 9).
Erklärung: Komponentenweise: 2 · 1 + 1 = 3, 2 · 2 + 2 = 6, 2 · 3 + 3 = 9. Allgemein ist 2a + a = 3a.
Gegeben sind a = (1; −2; 4) und b = (2; −4; 8). Für welche Zahl s ist b − s · a der Nullvektor?
Erklärung: b = 2 · a, also b − 2 · a = (0; 0; 0). s = 0,5 würde a = 0,5 · b bedeuten, s = −2 kehrt die Richtung um.
Berechne die zweite Komponente von 3a − b für a = (2; 5; 1) und b = (4; −1; 0).
Erklärung: 3 · 5 − (−1) = 15 + 1 = 16.
M ist der Mittelpunkt der Strecke AB mit A(2 | 4 | 6) und B(4 | 0 | 2). Es gilt OM = ½ · OA + ½ · OB. Welche x₃-Koordinate hat M?
Erklärung: OM = ½ · (2; 4; 6) + ½ · (4; 0; 2) = (1; 2; 3) + (2; 0; 1) = (3; 2; 4). Die x₃-Koordinate ist 4.
Prüfe, ob a = (2; −3; 4) und b = (−6; 9; −12) parallel sind, und ebenso a und c = (4; −6; 9). Begründe jeweils mit einem Faktor s und beschreibe für das parallele Paar, wie b zu a liegt (Richtung, Länge).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Parallel heißt: eine Zahl s für alle drei Komponenten. Bei c passt 2 nur zu zwei Komponenten.