Vielfache von Vektoren

Multiples of vectors

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
GeometrieVektorenKoordinaten

Das skalare Vielfache s · v multipliziert alle drei Komponenten mit derselben Zahl s: |s| > 1 streckt, |s| < 1 staucht, ein negatives s kehrt die Richtung um. Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist, und zwar mit einer Zahl für alle drei Komponenten. Vielfache und Summen verbindet die Linearkombination, etwa 2a − 3b. Räumt aus, nur eine Komponente zu multiplizieren, in einem negativen Faktor eine Verkürzung zu sehen oder Parallelität schon bei zwei passenden Komponenten anzunehmen. Bereitet Geradengleichungen, Kollinearität und das Skalarprodukt vor.

Fliegt die Drohne zweimal dieselbe Verschiebung, verdoppelt sich der Pfeil. Allgemein multipliziert das Vielfache jede der drei Komponenten mit derselben Zahl s:

Bei wird der Pfeil länger, bei kürzer. Ein negatives s kehrt die Richtung um; es macht den Pfeil nicht kürzer. Mit entsteht der Gegenvektor, mit der Nullvektor.

Die Zahl s heißt auch Skalar, daher der Name „skalares Vielfaches“: Sie ist eine gewöhnliche Zahl, kein Vektor.

Stelle s ein, auch unter 0 und unter 1. Wann zeigt der violette Pfeil in die Gegenrichtung, wann ist er kürzer als v?

Zwei Vektoren heißen parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist: . Prüfe alle drei Komponenten mit derselben Zahl s! Zu passt mit , aber nicht: Zwei Komponenten stimmen, die dritte nicht.

Anschaulich: Parallele Pfeile zeigen entlang derselben Richtung, ein Vielfaches ändert nur Länge und Orientierung. Später beschreibt so ein Richtungsvektor eine ganze Gerade: Alle seine Vielfachen liegen entlang ihr.

Vielfache und Summen lassen sich mischen: Die Linearkombination entsteht, indem du erst die Vielfachen bildest und dann komponentenweise verrechnest. Für und ergibt sich .

Voraussetzungen (1)

Summe und Differenz
Klasse 12
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Ermöglicht (2)

Länge und Abstand
Klasse 12
›
Vektoren in Koordinaten
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lautet 3 · (2; −1; 4)?

  • ● (6; −3; 12)
  • ○ (6; −1; 4)
  • ○ (5; 2; 7)
Alle drei Komponenten werden mit 3 multipliziert: (6; −3; 12). Nur die erste zu vervielfachen oder 3 zu addieren wären typische Fehler.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für v = (1; 2; 3) zeigt −2 · v = (−2; −4; −6) in dieselbe Richtung wie v und ist doppelt so lang.

✓ Falsch
Der Faktor −2 kehrt die Richtung um; nur die Länge verdoppelt sich. Das Minuszeichen heißt nicht „kürzer“.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Bild sind v und w = s · v eingezeichnet. Welche Zahl ist s?

  • ● s = −0,5
  • ○ s = 0,5
  • ○ s = −2
w zeigt in die Gegenrichtung (s < 0) und ist halb so lang (|s| = 0,5): s = −0,5. Ein positives s hätte die Richtung von v.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Vektor ist parallel zu a = (1; 2; 3)?

  • ● (−2; −4; −6)
  • ○ (2; 4; 5)
  • ○ (3; 2; 1)
(−2; −4; −6) = −2 · a, dieselbe Zahl erklärt alle drei Komponenten. (2; 4; 5) passt nur in zwei Komponenten (2 · 3 = 6 ≠ 5).
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Vektoren (2; 4; 6) und (1; 2; 4) sind parallel.

✓ Falsch
2 · (1; 2; 4) = (2; 4; 8) ≠ (2; 4; 6): Die dritte Komponente passt nicht zu demselben Faktor 2.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Im Bild sind die Pfeile a = (1; 2; 1), b = (−2; −4; −2) und c = (1; 2; 2) gezeichnet. Welche beiden sind parallel?

  • ● a und b
  • ○ a und c
  • ○ b und c
b = −2 · a: Alle Komponenten von a wurden mit −2 multipliziert. c stimmt nur in zwei Komponenten mit a überein (die dritte ist 2 statt 1).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für a = (1; 0; 2) und b = (2; 1; 0): Wie lautet 2a − 3b?

  • ● (−4; −3; 4)
  • ○ (4; 3; −4)
  • ○ (8; 3; 4)
2a = (2; 0; 4), 3b = (6; 3; 0). 2a − 3b = (−4; −3; 4). (4; 3; −4) wäre 3b − 2a, (8; 3; 4) wäre 2a + 3b.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 3) gilt 2a + a = (3; 6; 9).

✓ Wahr
Komponentenweise: 2 · 1 + 1 = 3, 2 · 2 + 2 = 6, 2 · 3 + 3 = 9. Allgemein ist 2a + a = 3a.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Gegeben sind a = (1; −2; 4) und b = (2; −4; 8). Für welche Zahl s ist b − s · a der Nullvektor?

  • ● s = 2
  • ○ s = 0,5
  • ○ s = −2
b = 2 · a, also b − 2 · a = (0; 0; 0). s = 0,5 würde a = 0,5 · b bedeuten, s = −2 kehrt die Richtung um.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne die dritte Komponente von −2 · (3; 1; −5).

✓ Antwort: 10
−2 · (−5) = 10.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt b = s · a mit a = (2; −4; 6) und b = (−1; 2; −3). Wie groß ist s?

✓ Antwort: -0.5
s = −1 : 2 = −0,5; die anderen Komponenten bestätigen es: −4 · (−0,5) = 2 und 6 · (−0,5) = −3.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne die zweite Komponente von 3a − b für a = (2; 5; 1) und b = (4; −1; 0).

✓ Antwort: 16
3 · 5 − (−1) = 15 + 1 = 16.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Drohne bewegt sich in jeder Minute um den Vektor (1; 2; 3) (Einheit: Meter). Wie viele Meter steigt sie bei gleicher Bewegung in 2,5 Minuten?

✓ Antwort: 7.5
Die Verschiebung nach 2,5 Minuten ist 2,5 · (1; 2; 3) = (2,5; 5; 7,5). Die x₃-Komponente ist 7,5 m.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von t sind die Vektoren (1; 3; 2) und (2; 6; t) parallel?

✓ Antwort: 4
Der Faktor ist 2 (2 = 2 · 1, 6 = 2 · 3), also t = 2 · 2 = 4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

M ist der Mittelpunkt der Strecke AB mit A(2 | 4 | 6) und B(4 | 0 | 2). Es gilt OM = ½ · OA + ½ · OB. Welche x₃-Koordinate hat M?

✓ Antwort: 4
OM = ½ · (2; 4; 6) + ½ · (4; 0; 2) = (1; 2; 3) + (2; 0; 1) = (3; 2; 4). Die x₃-Koordinate ist 4.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Prüfe, ob a = (2; −3; 4) und b = (−6; 9; −12) parallel sind, und ebenso a und c = (4; −6; 9). Begründe jeweils mit einem Faktor s und beschreibe für das parallele Paar, wie b zu a liegt (Richtung, Länge). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: b = s · a: −6 = s · 2 gibt s = −3; −3 · (−3) = 9 und 4 · (−3) = −12 stimmen, also b = −3 · a: parallel, entgegengesetzt gerichtet, dreimal so lang. c: 4 = 2 · 2 und −6 = 2 · (−3), aber 9 ≠ 2 · 4 = 8: derselbe Faktor 2 passt nicht zur dritten Komponente, also nicht parallel.
Parallel heißt: eine Zahl s für alle drei Komponenten. Bei c passt 2 nur zu zwei Komponenten.