Zerlegen und Ergänzen
Der Körper besteht aus zwei Quadern: links 3 cm lang, 2 cm tief, 6 cm hoch (blau), rechts 5 cm lang, 2 cm tief, 2 cm hoch (gelb). Welche Rechnung gibt sein Volumen?
Erklärung: Man berechnet beide Quader und addiert: 3 · 2 · 6 = 36 und 5 · 2 · 2 = 20, zusammen 56 cm³. Multipliziert man die Volumina, wird die Zahl viel zu groß, und 8 · 2 · 6 = 96 wäre der umschließende Quader ohne die Aussparung.
Ein Körper wird in einen Quader mit 30 cm³ und einen Quader mit 12 cm³ zerlegt. Er hat das Volumen 360 cm³.
Erklärung: Die Volumina der Teile werden addiert: 30 + 12 = 42 cm³. Das Produkt 30 · 12 = 360 hätte die Einheit cm⁶ und ist ein typischer Fehler.
Ein Körper besteht aus einem Quader 4 cm · 3 cm · 2 cm und einem Quader 2 cm · 3 cm · 2 cm. Berechne sein Volumen in cm³.
Erklärung: 4 · 3 · 2 = 24 und 2 · 3 · 2 = 12. Zusammen 24 + 12 = 36, also 36 cm³.
Die Treppe hat drei Stufen, jede 2 cm breit und 3 cm tief, mit den Höhen 6 cm, 4 cm und 2 cm. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Erklärung: Die Stufen haben 2 · 3 · 6 = 36, 2 · 3 · 4 = 24 und 2 · 3 · 2 = 12 cm³. Zusammen 36 + 24 + 12 = 72, also 72 cm³.
Dem Quader (8 cm · 4 cm · 3 cm) fehlt oben rechts ein Stück von 3 cm · 4 cm · 1 cm. Welche Rechnung gibt das Volumen des Körpers?
Erklärung: Man ergänzt zum Quader (96 cm³) und zieht das fehlende Stück (12 cm³) ab: 84 cm³. Addieren macht den Körper größer als den Quader, und (8 − 3) · 4 · (3 − 1) = 40 subtrahiert die Kanten statt der Volumina.
Aus einem Quader mit 200 cm³ wird ein Stück mit 50 cm³ herausgeschnitten. Der Rest hat 150 cm³.
Erklärung: Was herausgeschnitten wird, fehlt: 200 − 50 = 150 cm³. Addiert man das Stück, wäre der Rest größer als der ganze Quader.
Aus einem Quader mit 150 cm³ wird ein Stück mit 45 cm³ herausgeschnitten. Wie viel cm³ bleiben?
Erklärung: 150 − 45 = 105, also 105 cm³.
Der Quader ist 10 cm lang, 6 cm tief und 4 cm hoch. Durch die ganze Höhe geht ein quadratisches Loch von 2 cm · 2 cm. Wie groß ist das Volumen des Körpers in cm³?
Erklärung: Der volle Quader hat 10 · 6 · 4 = 240 cm³, das Loch 2 · 2 · 4 = 16 cm³. Der Körper hat 240 − 16 = 224 cm³.
Wie lang ist der linke Turm des Körpers?
Erklärung: Das Ganze ist 6 cm lang, die Platte rechts 4 cm: Der Turm ist 6 − 4 = 2 cm lang. Die 10 cm wären 6 + 4 (addiert), die 4 cm ist die Länge der Platte.
Ein Körper ist 9 cm lang. Der rechte Teil ist 4 cm lang, der linke Teil deshalb 13 cm.
Erklärung: Die Teile ergeben zusammen das Ganze: 9 − 4 = 5 cm. Die 13 cm addiert statt zu subtrahieren.
Ein Körper ist 12 cm lang. Der rechte Teil ist 7 cm lang. Wie lang ist der linke Teil (in cm)?
Erklärung: 12 − 7 = 5, also 5 cm.
Wie groß ist das Volumen des linken Turms (in cm³)?
Erklärung: Der Turm ist 9 − 5 = 4 cm lang, 3 cm tief und 6 cm hoch: V = 4 · 3 · 6 = 72, also 72 cm³.
Ein Körper hat das Volumen 84 cm³. Eine Schülerin zerlegt ihn und rechnet 60 + 24. Ein Schüler ergänzt ihn und rechnet 120 − 36. Wer hat richtig gerechnet?
Erklärung: 60 + 24 = 84 und 120 − 36 = 84. Beide Wege führen zum selben Volumen, denn Zerlegen und Ergänzen ändern den Körper nicht.
Ein Körper wird auf zwei Arten zerlegt. Die Teile der ersten Zerlegung haben 40 cm³ und 32 cm³, die der zweiten 24 cm³ und 48 cm³. Beide Zerlegungen ergeben dasselbe Volumen.
Erklärung: 40 + 32 = 72 und 24 + 48 = 72. Die Teile sind verschieden, ihre Summe ist immer das Volumen des ganzen Körpers.
Von einem Würfel mit der Kante 4 cm wird eine Ecke abgeschnitten, ein Würfel mit der Kante 2 cm. Wie groß ist das Volumen des Restkörpers in cm³?
Erklärung: Ergänzen ist am einfachsten: 4 · 4 · 4 = 64 und 2 · 2 · 2 = 8. Der Rest hat 64 − 8 = 56, also 56 cm³.
Der Würfel mit der Kante 10 cm hat vorne oben rechts einen Würfel mit der Kante 5 cm verloren. Wie groß ist das Volumen des Körpers in cm³?
Erklärung: Ergänzen im Kopf: 10 · 10 · 10 = 1000 und 5 · 5 · 5 = 125. Der Körper hat 1000 − 125 = 875, also 875 cm³. Zerlegen wäre umständlicher (drei Quader).
Ein Körper ist 9 cm lang, 3 cm tief und 6 cm hoch. Rechts unten liegt eine Platte, die 5 cm lang und 2 cm hoch ist, links davon steht ein Turm bis zur vollen Höhe von 6 cm. Berechne das Volumen einmal durch Zerlegen und einmal durch Ergänzen. Zeichne eine Skizze und vergleiche die beiden Ergebnisse.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zerlegen: 4 · 3 · 6 + 5 · 3 · 2 = 72 + 30 = 102 cm³. Ergänzen: 9 · 3 · 6 − 5 · 3 · 4 = 162 − 60 = 102 cm³.