Zerlegen und Ergänzen

Splitting and completing

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben

GeometrieVolumenZerlegenRaumgeometrie

Ein zusammengesetzter Körper hat keine eigene Formel. Man zerlegt ihn in Quader und addiert ihre Volumina, oder man ergänzt ihn zu einem Quader und zieht das fehlende Stück ab. Beide Wege führen zum selben Volumen, und die Probe mit dem zweiten Weg schützt vor Rechenfehlern. Fehlende Kanten der Teile folgen aus dem Ganzen: 6 cm − 4 cm = 2 cm. Räumt aus, das ergänzte Stück zu addieren, Volumina zu multiplizieren oder Kanten statt Volumina zu subtrahieren (Weigand u. a. 2018). Bereitet Prismen und Zylinder in Jahrgangsstufe 8 vor.

Zerlegen

Ein Körper aus mehreren Quadern hat keine eigene Formel. Wir zerlegen ihn in Quader, deren Volumen wir berechnen können, und addieren. Der Stufenkörper ist 6 cm lang, 4 cm tief und 5 cm hoch, rechts oben fehlt ein Stück. Ein senkrechter Schnitt trennt einen Turm mit 2 · 4 · 5 = 40 cm³ von einer Platte mit 4 · 4 · 2 = 32 cm³: zusammen 72 cm³. Ein waagerechter Schnitt liefert 24 cm³ und 48 cm³, wieder 72 cm³. Zerlegen ändert am Körper nichts.

Schalte zwischen den Schnitten um. Was ändert sich an den Teilen, was an der Summe?

Ergänzen

Oder wir ergänzen: Fehlt dem Körper ein Stück, denken wir es dazu und ziehen es am Ende ab. Der ganze Quader hat 6 · 4 · 5 = 120 cm³, das fehlende Stück 4 · 4 · 3 = 48 cm³. Der Körper hat also 120 − 48 = 72 cm³. Das ergänzte Stück wird abgezogen, nicht addiert. Es ist derselbe Körper wie eben, also muss wieder 72 cm³ herauskommen, und so ist es. Der zweite Weg dient als Probe für den ersten.

Das gestrichelte Stück fehlt: ganzer Quader 120 cm³, Stück 48 cm³, Körper 72 cm³.

Kanten der Teile

Für die Teile fehlen oft Kanten. Sie folgen aus dem Ganzen: Ist der Körper 6 cm lang und die Platte 4 cm lang, ist der Turm 6 − 4 = 2 cm lang. Ist er 5 cm hoch und die Platte 2 cm hoch, ist das fehlende Stück 5 − 2 = 3 cm hoch. Wähle den Weg mit den einfachsten Zahlen, gern im Kopf, und prüfe mit dem zweiten Weg: Kommt bei beiden dasselbe heraus, stimmt die Rechnung sehr wahrscheinlich.

Aus 6 cm und 4 cm folgt die Turmlänge, aus 5 cm und 2 cm die Höhe des fehlenden Stücks.

Voraussetzungen (1)

Schichten mal Höhe

Klasse 6

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Körper besteht aus zwei Quadern: links 3 cm lang, 2 cm tief, 6 cm hoch (blau), rechts 5 cm lang, 2 cm tief, 2 cm hoch (gelb). Welche Rechnung gibt sein Volumen?

● 3 · 2 · 6 + 5 · 2 · 2
○ 3 · 2 · 6 · 5 · 2 · 2
○ 8 · 2 · 6

Man berechnet beide Quader und addiert: 3 · 2 · 6 = 36 und 5 · 2 · 2 = 20, zusammen 56 cm³. Multipliziert man die Volumina, wird die Zahl viel zu groß, und 8 · 2 · 6 = 96 wäre der umschließende Quader ohne die Aussparung.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Körper wird in einen Quader mit 30 cm³ und einen Quader mit 12 cm³ zerlegt. Er hat das Volumen 360 cm³.

✓ Falsch

Die Volumina der Teile werden addiert: 30 + 12 = 42 cm³. Das Produkt 30 · 12 = 360 hätte die Einheit cm⁶ und ist ein typischer Fehler.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Dem Quader (8 cm · 4 cm · 3 cm) fehlt oben rechts ein Stück von 3 cm · 4 cm · 1 cm. Welche Rechnung gibt das Volumen des Körpers?

● 8 · 4 · 3 − 3 · 4 · 1
○ 8 · 4 · 3 + 3 · 4 · 1
○ (8 − 3) · 4 · (3 − 1)

Man ergänzt zum Quader (96 cm³) und zieht das fehlende Stück (12 cm³) ab: 84 cm³. Addieren macht den Körper größer als den Quader, und (8 − 3) · 4 · (3 − 1) = 40 subtrahiert die Kanten statt der Volumina.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Aus einem Quader mit 200 cm³ wird ein Stück mit 50 cm³ herausgeschnitten. Der Rest hat 150 cm³.

✓ Wahr

Was herausgeschnitten wird, fehlt: 200 − 50 = 150 cm³. Addiert man das Stück, wäre der Rest größer als der ganze Quader.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie lang ist der linke Turm des Körpers?

● 2 cm
○ 10 cm
○ 4 cm

Das Ganze ist 6 cm lang, die Platte rechts 4 cm: Der Turm ist 6 − 4 = 2 cm lang. Die 10 cm wären 6 + 4 (addiert), die 4 cm ist die Länge der Platte.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Körper ist 9 cm lang. Der rechte Teil ist 4 cm lang, der linke Teil deshalb 13 cm.

✓ Falsch

Die Teile ergeben zusammen das Ganze: 9 − 4 = 5 cm. Die 13 cm addiert statt zu subtrahieren.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Körper hat das Volumen 84 cm³. Eine Schülerin zerlegt ihn und rechnet 60 + 24. Ein Schüler ergänzt ihn und rechnet 120 − 36. Wer hat richtig gerechnet?

● beide
○ nur die Schülerin
○ nur der Schüler

60 + 24 = 84 und 120 − 36 = 84. Beide Wege führen zum selben Volumen, denn Zerlegen und Ergänzen ändern den Körper nicht.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Körper wird auf zwei Arten zerlegt. Die Teile der ersten Zerlegung haben 40 cm³ und 32 cm³, die der zweiten 24 cm³ und 48 cm³. Beide Zerlegungen ergeben dasselbe Volumen.

✓ Wahr

40 + 32 = 72 und 24 + 48 = 72. Die Teile sind verschieden, ihre Summe ist immer das Volumen des ganzen Körpers.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Körper besteht aus einem Quader 4 cm · 3 cm · 2 cm und einem Quader 2 cm · 3 cm · 2 cm. Berechne sein Volumen in cm³.

✓ Antwort: 36

4 · 3 · 2 = 24 und 2 · 3 · 2 = 12. Zusammen 24 + 12 = 36, also 36 cm³.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Aus einem Quader mit 150 cm³ wird ein Stück mit 45 cm³ herausgeschnitten. Wie viel cm³ bleiben?

✓ Antwort: 105

150 − 45 = 105, also 105 cm³.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Körper ist 12 cm lang. Der rechte Teil ist 7 cm lang. Wie lang ist der linke Teil (in cm)?

✓ Antwort: 5

12 − 7 = 5, also 5 cm.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Von einem Würfel mit der Kante 4 cm wird eine Ecke abgeschnitten, ein Würfel mit der Kante 2 cm. Wie groß ist das Volumen des Restkörpers in cm³?

✓ Antwort: 56

Ergänzen ist am einfachsten: 4 · 4 · 4 = 64 und 2 · 2 · 2 = 8. Der Rest hat 64 − 8 = 56, also 56 cm³.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Treppe hat drei Stufen, jede 2 cm breit und 3 cm tief, mit den Höhen 6 cm, 4 cm und 2 cm. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?

✓ Antwort: 72

Die Stufen haben 2 · 3 · 6 = 36, 2 · 3 · 4 = 24 und 2 · 3 · 2 = 12 cm³. Zusammen 36 + 24 + 12 = 72, also 72 cm³.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Der Quader ist 10 cm lang, 6 cm tief und 4 cm hoch. Durch die ganze Höhe geht ein quadratisches Loch von 2 cm · 2 cm. Wie groß ist das Volumen des Körpers in cm³?

✓ Antwort: 224

Der volle Quader hat 10 · 6 · 4 = 240 cm³, das Loch 2 · 2 · 4 = 16 cm³. Der Körper hat 240 − 16 = 224 cm³.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Wie groß ist das Volumen des linken Turms (in cm³)?

✓ Antwort: 72

Der Turm ist 9 − 5 = 4 cm lang, 3 cm tief und 6 cm hoch: V = 4 · 3 · 6 = 72, also 72 cm³.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Der Würfel mit der Kante 10 cm hat vorne oben rechts einen Würfel mit der Kante 5 cm verloren. Wie groß ist das Volumen des Körpers in cm³?

✓ Antwort: 875

Ergänzen im Kopf: 10 · 10 · 10 = 1000 und 5 · 5 · 5 = 125. Der Körper hat 1000 − 125 = 875, also 875 cm³. Zerlegen wäre umständlicher (drei Quader).

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Körper ist 9 cm lang, 3 cm tief und 6 cm hoch. Rechts unten liegt eine Platte, die 5 cm lang und 2 cm hoch ist, links davon steht ein Turm bis zur vollen Höhe von 6 cm. Berechne das Volumen einmal durch Zerlegen und einmal durch Ergänzen. Zeichne eine Skizze und vergleiche die beiden Ergebnisse. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze des Stufenkörpers. Zerlegen: Turm (9 − 5) · 3 · 6 = 4 · 3 · 6 = 72 cm³ und Platte 5 · 3 · 2 = 30 cm³, zusammen 102 cm³. Ergänzen: ganzer Quader 9 · 3 · 6 = 162 cm³, fehlendes Stück 5 · 3 · (6 − 2) = 5 · 3 · 4 = 60 cm³, also 162 − 60 = 102 cm³. Beide Wege ergeben 102 cm³.

Zerlegen: 4 · 3 · 6 + 5 · 3 · 2 = 72 + 30 = 102 cm³. Ergänzen: 9 · 3 · 6 − 5 · 3 · 4 = 162 − 60 = 102 cm³.