Exponentialgleichungen lösen
Welcher Wert löst die Gleichung 2ˣ = 32?
Erklärung: 32 = 2⁵, also 2ˣ = 2⁵ und x = 5. Die 16 entsteht durch 32 : 2 und die 30 durch 32 − 2; beides sind Rechnungen mit den Zahlen statt der Frage nach dem Exponenten.
Die Gleichung 3^(x + 1) = 81 hat die Lösung x = 3.
Erklärung: 81 = 3⁴, also x + 1 = 4 und x = 3. Probe: 3⁽³⁺¹⁾ = 3⁴ = 81. Wer x = 4 antwortet, hat den Exponenten x + 1 mit der Unbekannten x verwechselt.
Die Gleichung 2ˣ = −8 hat die Lösung x = −3.
Erklärung: 2⁻³ = 1/8 ist positiv. Eine Potenz mit positiver Basis ist für jedes x größer als 0, also kann 2ˣ nie −8 sein: Die Gleichung hat keine Lösung.
Die Gerade y = 81 schneidet den Graphen von y = 3ˣ (Bild). Wie lautet die Lösung von 3ˣ = 81?
Erklärung: 81 = 3⁴, also x = 4. Am Graphen liest man dieselbe x-Koordinate des Schnittpunkts ab; rechnerisch ist es der Exponentenvergleich 3ˣ = 3⁴.
Löse 5ˣ = 625.
Erklärung: 625 = 5 · 125 = 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴, also 5ˣ = 5⁴ und x = 4.
Löse 2^(x − 1) = 16.
Erklärung: 16 = 2⁴, also x − 1 = 4 und x = 5. Probe: 2⁽⁵⁻¹⁾ = 2⁴ = 16.
Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 4 · 3ˣ = 108. Der erste Schritt ist die Division durch 4. Was steht danach?
Erklärung: Beide Seiten werden durch 4 geteilt: 4 · 3ˣ : 4 = 3ˣ und 108 : 4 = 27. Bei 12ˣ wäre die 4 in die Basis gezogen worden, bei 104 wäre 4 subtrahiert statt dividiert.
Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 3 · 2ˣ + 1 = 25. Womit beginnt man beim Lösen?
Erklärung: Die Addition von 1 wird zuletzt gerechnet, also macht man sie zuerst rückgängig: 3 · 2ˣ = 24. Erst dann teilt man durch 3 (2ˣ = 8). Wer sofort durch 3 teilt, muss auch die 1 durch 3 teilen; der Logarithmus kommt erst, wenn die Potenz allein steht.
Welcher Rechenbaum gehört zum Term 5 · 2ˣ?
Erklärung: Bei 5 · 2ˣ wird zuerst 2ˣ gerechnet und dann mit 5 multipliziert (Baum A). In Baum B steht die 5 in der Basis, (5 · 2)ˣ = 10ˣ; in Baum C steht sie im Exponenten, 2^(5x).
Löse 6 · 2ˣ = 96.
Erklärung: Durch 6 teilen: 2ˣ = 16 = 2⁴, also x = 4. Probe: 6 · 16 = 96.
Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 2 · 3ˣ − 5 = 157. Löse die Gleichung.
Erklärung: Erst 5 addieren: 2 · 3ˣ = 162. Dann durch 2 teilen: 3ˣ = 81 = 3⁴, also x = 4. Probe: 2 · 81 − 5 = 157.
Welche Gleichung entsteht aus 1,05ˣ = 3, wenn man beide Seiten logarithmiert?
Erklärung: Die Regel lg(uᶻ) = z · lg(u) holt den Exponenten als Faktor nach vorn: lg(1,05ˣ) = x · lg 1,05. Beim Potenzieren des Logarithmus oder beim Addieren wäre die Regel falsch angewendet.
log₃ (9³) = 3 · log₃ 9
Erklärung: 9³ = 729 = 3⁶, also log₃ 729 = 6. Rechts ist 3 · log₃ 9 = 3 · 2 = 6. Der Exponent 3 kommt als Faktor vor den Logarithmus.
lg (3 + 4) = lg 3 + lg 4
Erklärung: lg 7 ≈ 0,845, aber lg 3 + lg 4 ≈ 0,477 + 0,602 = 1,079. Die Potenzregel gilt für einen Exponenten, nicht für eine Summe unter dem Logarithmus.
Berechne log₂ (4⁵) mit der Regel log_b(uᶻ) = z · log_b(u).
Erklärung: log₂ (4⁵) = 5 · log₂ 4 = 5 · 2 = 10. Probe: 4⁵ = 1024 = 2¹⁰.
Ein Guthaben wächst jährlich um 4 %. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? (auf 0,1 Jahre genau)
Erklärung: Gesucht ist x mit 1,04ˣ = 2. Logarithmieren: x · lg 1,04 = lg 2, also x = lg 2 : lg 1,04 ≈ 0,3010 : 0,01703 ≈ 17,7 Jahre.
Löse 1,5ˣ = 10. Runde auf 2 Dezimalstellen.
Erklärung: x · lg 1,5 = lg 10 = 1, also x = 1 : lg 1,5 ≈ 1 : 0,1761 ≈ 5,68. Probe: 1,5^5,68 ≈ 10.
Lena löst 3 · 1,2ˣ = 12 so: „Ich schreibe (3 · 1,2)ˣ = 12, also 3,6ˣ = 12, und das ergibt x = log₃,₆ 12 ≈ 1,94.“ Finde den Fehler in ihrem ersten Schritt und erkläre ihn. Löse die Gleichung dann richtig, mit allen Umformungsschritten, und mache die Probe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zuerst durch 3 teilen: 1,2ˣ = 4. Dann x · lg 1,2 = lg 4 und x = lg 4 : lg 1,2 ≈ 7,60. Lenas Schritt (3 · 1,2)ˣ ist falsch, weil die 3 nur einmal mit der Potenz multipliziert wird und nicht x-mal.