Exponentialgleichungen lösen

Solving exponential equations

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

ExponentiellLogarithmusGleichungen

Eine Exponentialgleichung fragt nach dem Exponenten. Sind beide Seiten Potenzen derselben Basis, vergleicht man die Exponenten (2ˣ = 2⁶ ergibt x = 6). Bei b · aˣ = c teilt man zuerst durch b und löst dann aˣ = c/b; lässt sich c/b nicht als Potenz von a schreiben, logarithmiert man, und die Regel log_b(uᶻ) = z · log_b(u) holt den Exponenten nach vorn. Der Abschnitt räumt aus, b in die Basis zu ziehen ((b · a)ˣ), Summen zu logarithmieren und aˣ = −5 für lösbar zu halten (Weber 2002). Er bereitet Modellaufgaben und die Gleichungen mit ln in Jahrgangsstufe 12 vor.

Gleiche Basis

Wann ist $3 \cdot 2^{x} = 48$ ? Das ist eine Exponentialgleichung: Die Unbekannte steht im Exponenten. Im Graphen sucht man den Schnittpunkt von $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ mit der Geraden $y = 48$ .

Rechnerisch macht man den zuletzt gerechneten Schritt zuerst rückgängig; im Rechenbaum von $3 \cdot 2^{x}$ , der die Reihenfolge der Rechenschritte zeigt, steht das Malnehmen mit 3 oben. Die 3 ist ein Faktor vor der Potenz, keine Basis, also teilt man durch 3: $2^{x} = 16$ . Wegen $16 = 2^{4}$ ist $x = 4$ , denn bei gleicher Basis sind die Exponenten gleich. Die Umformung $(3 \cdot 2)^{x} = 6^{x}$ wäre falsch. Und $2^{x} = - 5$ hat keine Lösung, weil eine Potenz mit positiver Basis nie negativ ist.

Ziehe x₀ am Regler, bis P auf der Geraden y = 48 liegt. Welchen Wert hat x₀ dann, und passt er zu 2ˣ = 16?

Logarithmieren

Ein Guthaben wächst jährlich um 5 %. Wann hat es sich verdoppelt? Gesucht ist x mit $1, 0 5^{x} = 2$ . Die Zahl 2 ist keine Potenz von 1,05, also fragt man nach dem Exponenten: $x = lo g_{1, 05} 2$ . Man kann auch beide Seiten logarithmieren. Die Regel

$lo g_{b} (u^{z}) = z \cdot lo g_{b} (u)$

holt den Exponenten nach vorn. Zur Probe: $lo g_{2} (8^{2}) = lo g_{2} 64 = 6$ und $2 \cdot lo g_{2} 8 = 2 \cdot 3 = 6$ . Warum sie gilt: Ist $k = lo g_{b} u$ , also $u = b^{k}$ , dann ist $u^{z} = b^{k z}$ , und der zugehörige Exponent ist $k \cdot z$ .

Mit dem dekadischen Logarithmus lg (Basis 10) folgt $x \cdot l g 1, 05 = l g 2$ , also $x = l g 2 : l g 1, 05 \approx 14, 2$ . Nach 14 Jahren sind es erst 1,98 mal so viel, nach 15 Jahren 2,08 mal.

Stelle x₀ auf 14 und auf 15. Zwischen welchen Werten liegt der Schnittpunkt mit y = 2?

Voraussetzungen (1)

Der Logarithmus

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Wachstum modellieren

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welcher Wert löst die Gleichung 2ˣ = 32?

● 5
○ 16
○ 30

32 = 2⁵, also 2ˣ = 2⁵ und x = 5. Die 16 entsteht durch 32 : 2 und die 30 durch 32 − 2; beides sind Rechnungen mit den Zahlen statt der Frage nach dem Exponenten.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Gleichung 3^(x + 1) = 81 hat die Lösung x = 3.

✓ Wahr

81 = 3⁴, also x + 1 = 4 und x = 3. Probe: 3⁽³⁺¹⁾ = 3⁴ = 81. Wer x = 4 antwortet, hat den Exponenten x + 1 mit der Unbekannten x verwechselt.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Gleichung 2ˣ = −8 hat die Lösung x = −3.

✓ Falsch

2⁻³ = 1/8 ist positiv. Eine Potenz mit positiver Basis ist für jedes x größer als 0, also kann 2ˣ nie −8 sein: Die Gleichung hat keine Lösung.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 4 · 3ˣ = 108. Der erste Schritt ist die Division durch 4. Was steht danach?

● 3ˣ = 27
○ 12ˣ = 108
○ 3ˣ = 104

Beide Seiten werden durch 4 geteilt: 4 · 3ˣ : 4 = 3ˣ und 108 : 4 = 27. Bei 12ˣ wäre die 4 in die Basis gezogen worden, bei 104 wäre 4 subtrahiert statt dividiert.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 3 · 2ˣ + 1 = 25. Womit beginnt man beim Lösen?

● Mit − 1 auf beiden Seiten
○ Mit : 3 auf beiden Seiten
○ Mit dem Logarithmus

Die Addition von 1 wird zuletzt gerechnet, also macht man sie zuerst rückgängig: 3 · 2ˣ = 24. Erst dann teilt man durch 3 (2ˣ = 8). Wer sofort durch 3 teilt, muss auch die 1 durch 3 teilen; der Logarithmus kommt erst, wenn die Potenz allein steht.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Welcher Rechenbaum gehört zum Term 5 · 2ˣ?

● Baum A
○ Baum B
○ Baum C

Bei 5 · 2ˣ wird zuerst 2ˣ gerechnet und dann mit 5 multipliziert (Baum A). In Baum B steht die 5 in der Basis, (5 · 2)ˣ = 10ˣ; in Baum C steht sie im Exponenten, 2^(5x).

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht aus 1,05ˣ = 3, wenn man beide Seiten logarithmiert?

● x · lg 1,05 = lg 3
○ (lg 1,05)ˣ = lg 3
○ lg 1,05 + x = lg 3

Die Regel lg(uᶻ) = z · lg(u) holt den Exponenten als Faktor nach vorn: lg(1,05ˣ) = x · lg 1,05. Beim Potenzieren des Logarithmus oder beim Addieren wäre die Regel falsch angewendet.

Wahr / Falsch #8 25s ▶ Testen

log₃ (9³) = 3 · log₃ 9

✓ Wahr

9³ = 729 = 3⁶, also log₃ 729 = 6. Rechts ist 3 · log₃ 9 = 3 · 2 = 6. Der Exponent 3 kommt als Faktor vor den Logarithmus.

Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

lg (3 + 4) = lg 3 + lg 4

✓ Falsch

lg 7 ≈ 0,845, aber lg 3 + lg 4 ≈ 0,477 + 0,602 = 1,079. Die Potenzregel gilt für einen Exponenten, nicht für eine Summe unter dem Logarithmus.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Gerade y = 81 schneidet den Graphen von y = 3ˣ (Bild). Wie lautet die Lösung von 3ˣ = 81?

✓ Antwort: 4

81 = 3⁴, also x = 4. Am Graphen liest man dieselbe x-Koordinate des Schnittpunkts ab; rechnerisch ist es der Exponentenvergleich 3ˣ = 3⁴.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Löse 5ˣ = 625.

✓ Antwort: 4

625 = 5 · 125 = 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴, also 5ˣ = 5⁴ und x = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse 6 · 2ˣ = 96.

✓ Antwort: 4

Durch 6 teilen: 2ˣ = 16 = 2⁴, also x = 4. Probe: 6 · 16 = 96.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne log₂ (4⁵) mit der Regel log_b(uᶻ) = z · log_b(u).

✓ Antwort: 10

log₂ (4⁵) = 5 · log₂ 4 = 5 · 2 = 10. Probe: 4⁵ = 1024 = 2¹⁰.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse 2^(x − 1) = 16.

✓ Antwort: 5

16 = 2⁴, also x − 1 = 4 und x = 5. Probe: 2⁽⁵⁻¹⁾ = 2⁴ = 16.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt die linke Seite von 2 · 3ˣ − 5 = 157. Löse die Gleichung.

✓ Antwort: 4

Erst 5 addieren: 2 · 3ˣ = 162. Dann durch 2 teilen: 3ˣ = 81 = 3⁴, also x = 4. Probe: 2 · 81 − 5 = 157.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Ein Guthaben wächst jährlich um 4 %. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? (auf 0,1 Jahre genau)

✓ Antwort: 17.7

Gesucht ist x mit 1,04ˣ = 2. Logarithmieren: x · lg 1,04 = lg 2, also x = lg 2 : lg 1,04 ≈ 0,3010 : 0,01703 ≈ 17,7 Jahre.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Löse 1,5ˣ = 10. Runde auf 2 Dezimalstellen.

✓ Antwort: 5.68

x · lg 1,5 = lg 10 = 1, also x = 1 : lg 1,5 ≈ 1 : 0,1761 ≈ 5,68. Probe: 1,5^5,68 ≈ 10.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Lena löst 3 · 1,2ˣ = 12 so: „Ich schreibe (3 · 1,2)ˣ = 12, also 3,6ˣ = 12, und das ergibt x = log₃,₆ 12 ≈ 1,94.“ Finde den Fehler in ihrem ersten Schritt und erkläre ihn. Löse die Gleichung dann richtig, mit allen Umformungsschritten, und mache die Probe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Fehler: Die 3 ist ein Faktor vor der Potenz und darf nicht in die Basis gezogen werden ((3 · 1,2)ˣ ≠ 3 · 1,2ˣ; schon bei x = 2 ist 3 · 1,44 = 4,32, aber 3,6² = 12,96). Richtig: 3 · 1,2ˣ = 12 | : 3, also 1,2ˣ = 4. Logarithmieren: x · lg 1,2 = lg 4, x = lg 4 : lg 1,2 ≈ 0,6021 : 0,0792 ≈ 7,60. Probe: 3 · 1,2^7,6 ≈ 3 · 4,00 = 12.

Zuerst durch 3 teilen: 1,2ˣ = 4. Dann x · lg 1,2 = lg 4 und x = lg 4 : lg 1,2 ≈ 7,60. Lenas Schritt (3 · 1,2)ˣ ist falsch, weil die 3 nur einmal mit der Potenz multipliziert wird und nicht x-mal.