Der Graph von b · aˣ
In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = 5 · 2ˣ die y-Achse?
Erklärung: Bei x = 0 ist 2⁰ = 1, also f(0) = 5 · 1 = 5. Der y-Achsenabschnitt ist der Anfangswert 5. Der Wert 2 ist die Basis, 10 wäre f(1) = 5 · 2.
Der Graph gehört zu f(x) = b · 3ˣ. Wie groß ist b?
Erklärung: Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 2, und f(0) = b · 3⁰ = b. Also ist b = 2. Die 3 ist die Basis, die 6 der Wert an der Stelle x = 1.
Berechne f(0) für f(x) = 7 · 1,3ˣ.
Erklärung: 1,3⁰ = 1, also f(0) = 7 · 1 = 7. Der Wert an der Stelle 0 ist immer der Anfangswert b.
Der Graph von f(x) = b · 1,5ˣ geht durch den Punkt P (Bild). Berechne b.
Erklärung: Aus 9 = b · 1,5² = b · 2,25 folgt b = 9 : 2,25 = 4. Der y-Achsenabschnitt ist also (0 | 4).
Welche Funktion hat einen fallenden Graphen?
Erklärung: Bei 3 · 0,5ˣ liegt die Basis 0,5 zwischen 0 und 1, der Graph fällt. Bei 0,5 · 3ˣ und 3 · 1,5ˣ ist die Basis größer als 1, beide steigen; die kleine Zahl 0,5 vor dem x ist nur der Anfangswert.
Der Graph gehört zu f(x) = 4 · aˣ. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Der Graph fällt, also ist 0 < a < 1. Von x = 0 nach x = 1 sinkt er von 4 auf 2, das ist der Faktor 2 : 4 = 0,5. Die 4 ist der Anfangswert, die 2 wäre eine steigende Basis.
Für welchen Wert von a ist der Graph von f(x) = 6 · aˣ eine waagrechte Gerade?
Erklärung: Bei a = 1 gilt 1ˣ = 1 für jedes x, also f(x) = 6. Für a > 1 steigt der Graph, für a < 1 fällt er.
Berechne f(3) für f(x) = 40 · 0,5ˣ.
Erklärung: f(3) = 40 · 0,5³ = 40 · 0,125 = 5. Der Wert halbiert sich in jedem Schritt: 40, 20, 10, 5.
Für welchen Wert von x ist 4 · 3ˣ gleich 0?
Erklärung: 3ˣ ist für jedes x positiv, also auch 4 · 3ˣ. Bei x = 0 ist der Wert 4, bei x = −1 ist er 4/3, beide sind größer als 0.
Der Graph von f(x) = 2ˣ nähert sich nach links einer Geraden. Welche ist es?
Erklärung: Für x → −∞ werden die Werte 1/2, 1/4, 1/8, … immer kleiner, bleiben aber positiv: Sie nähern sich 0. Die Gerade y = 1 wird nur bei x = 0 geschnitten, die y-Achse bei (0 | 1).
Der Graph von f(x) = 5 · 0,5ˣ nähert sich für große x immer mehr der Geraden y = ___
Erklärung: 0,5ˣ wird für große x beliebig klein: 0,5¹⁰ ≈ 0,001. Der Graph nähert sich der x-Achse y = 0 an, erreicht sie aber nie.
Berechne f(−4) für f(x) = 3 · 2ˣ.
Erklärung: 2⁻⁴ = 1/16, also f(−4) = 3/16 = 0,1875. Der Wert ist positiv und klein, der Graph liegt links knapp über der x-Achse.
Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Wie lautet der Term?
Erklärung: Der Punkt bei x = 0 hat y = 3, also b = 3. Ein Schritt bis zum Punkt bei x = 1 multipliziert mit a = 12 : 3 = 4. Bei 4 · 3ˣ sind b und a vertauscht, 9 ist die Differenz 12 − 3 und wäre linear gedacht.
Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch (0 | 2) und (1 | 6). Dann ist a = 4.
Erklärung: Ein Schritt multipliziert mit a: a = 6 : 2 = 3. Die 4 entsteht als Differenz 6 − 2, das wäre eine Zunahme und keine Basis.
Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Berechne a.
Erklärung: b = 5 und 5 · a = 20, also a = 20 : 5 = 4.
Der Graph von f(x) = b · aˣ (mit a > 0) geht durch (0 | 3) und (2 | 75). Berechne a.
Erklärung: b = 3 und 3 · a² = 75, also a² = 25 und a = 5 (a > 0). Es genügt nicht, 75 : 3 = 25 zu rechnen, denn das ist a².
Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Berechne a.
Erklärung: Der Punkt (0 | 2) gibt b = 2. Der Punkt (3 | 16) gibt 2 · a³ = 16, also a³ = 8 und a = 2.
Eine Exponentialfunktion f(x) = b · aˣ mit b > 0 und a > 0 geht durch P(0 | 3) und Q(2 | 27). Bestimme b und a und gib den Funktionsterm an. Entscheide, ob der Graph steigt oder fällt, und nenne den y-Achsenabschnitt und die Asymptote.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: b = 3 steht in P, a folgt aus 3a² = 27. Wegen a = 3 > 1 steigt der Graph, er schneidet die y-Achse bei (0 | 3) und nähert sich der x-Achse.