Der Graph von b · aˣ

The graph of b · aˣ

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

ExponentiellFunktionenGraphen

Für f(x) = b · aˣ mit b > 0 liest man dieselben Merkmale aus Term und Graph ab: den y-Achsenabschnitt (0 | b), das Steigen für a > 1 und Fallen für 0 < a < 1 und die waagrechte Asymptote y = 0, die der Graph nie erreicht. Aus zwei Punkten bestimmt man b (Wert bei x = 0) und a (Quotient der y-Werte). Der Abschnitt räumt aus, dass a der y-Achsenabschnitt sei, dass der Graph die x-Achse schneide und dass b über Steigen oder Fallen entscheide (Leinhardt, Zaslavsky und Stein 1990). Er bereitet Zerfall und Modelle sowie den Graphen von eˣ in Jahrgangsstufe 12 vor.

Anfangswert und Steigen

Bisher zählte n ganze Schritte. Setzt man für x jede Zahl ein, liefert $f (x) = b \cdot a^{x}$ mit $b > 0$ und $a > 0$ eine glatte Kurve durch die Punkte der Schritte. Bei $x = 0$ ist $a^{0} = 1$ , also $f (0) = b$ : Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b), ganz gleich, wie groß a ist.

Die Basis a bestimmt den Verlauf: Für $a > 1$ steigt der Graph, für $0 < a < 1$ fällt er, für $a = 1$ ist er die waagrechte Gerade $y = b$ . Ob er steigt oder fällt, hängt also an a und nicht an b.

Verändere b und a. Welcher Regler verschiebt den Punkt P, und bei welchem Wert von a wird der Graph waagrecht?

Die x-Achse als Asymptote

Wie sieht der Graph für negative x aus? Bei $a = 2$ ist $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ und $2^{- 10} = \frac{1}{1024}$ : Die Werte werden immer kleiner, bleiben aber positiv. Eine Potenz mit positiver Basis ist nie null und nie negativ, also gilt $b \cdot a^{x} > 0$ für jedes x.

Der Graph nähert sich der x-Achse beliebig nah an, erreicht sie aber nie. Diese Gerade heißt waagrechte Asymptote $y = 0$ . Der Graph hat keine Nullstelle. Für $0 < a < 1$ liegt die Annäherung auf der rechten Seite.

Ziehe den Punkt P nach links. Wird f(x₀) irgendwann null oder negativ, und wie ändert sich das Feld bei größerem a?

b und a aus zwei Punkten

Ein Graph der Form $f (x) = b \cdot a^{x}$ geht durch $P (0 ∣ 3)$ und $Q (2 ∣ 12)$ . Aus P folgt $b = 3$ . Q liefert $3 \cdot a^{2} = 12$ , also $a^{2} = 4$ und $a = 2$ , denn a muss positiv sein. Der Term ist $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Liegen die beiden Punkte einen Schritt auseinander, ist a einfach der Quotient ihrer y-Werte. Geht ein Graph durch $(0 ∣ 4)$ und $(1 ∣ 10)$ , ist $b = 4$ und $a = 10 : 4 = 2, 5$ . Die Differenz 6 ist nicht a, denn a wirkt als Faktor.

Der Graph soll durch R(0 | 5) und S(2 | 7,2) laufen. Stelle zuerst b ein, dann a, und lies f(0) und f(2) ab.

Voraussetzungen (1)

Faktor statt Zuwachs

Klasse 10

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = 5 · 2ˣ die y-Achse?

● (0 | 5)
○ (0 | 2)
○ (0 | 10)

Bei x = 0 ist 2⁰ = 1, also f(0) = 5 · 1 = 5. Der y-Achsenabschnitt ist der Anfangswert 5. Der Wert 2 ist die Basis, 10 wäre f(1) = 5 · 2.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = b · 3ˣ. Wie groß ist b?

● 2
○ 3
○ 6

Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 2, und f(0) = b · 3⁰ = b. Also ist b = 2. Die 3 ist die Basis, die 6 der Wert an der Stelle x = 1.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Funktion hat einen fallenden Graphen?

● f(x) = 3 · 0,5ˣ
○ f(x) = 0,5 · 3ˣ
○ f(x) = 3 · 1,5ˣ

Bei 3 · 0,5ˣ liegt die Basis 0,5 zwischen 0 und 1, der Graph fällt. Bei 0,5 · 3ˣ und 3 · 1,5ˣ ist die Basis größer als 1, beide steigen; die kleine Zahl 0,5 vor dem x ist nur der Anfangswert.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = 4 · aˣ. Welchen Wert hat a?

● 0,5
○ 2
○ 4

Der Graph fällt, also ist 0 < a < 1. Von x = 0 nach x = 1 sinkt er von 4 auf 2, das ist der Faktor 2 : 4 = 0,5. Die 4 ist der Anfangswert, die 2 wäre eine steigende Basis.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von x ist 4 · 3ˣ gleich 0?

● Für keinen Wert von x
○ x = 0
○ x = −1

3ˣ ist für jedes x positiv, also auch 4 · 3ˣ. Bei x = 0 ist der Wert 4, bei x = −1 ist er 4/3, beide sind größer als 0.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2ˣ nähert sich nach links einer Geraden. Welche ist es?

● Der x-Achse (y = 0)
○ Der y-Achse (x = 0)
○ Der Geraden y = 1

Für x → −∞ werden die Werte 1/2, 1/4, 1/8, … immer kleiner, bleiben aber positiv: Sie nähern sich 0. Die Gerade y = 1 wird nur bei x = 0 geschnitten, die y-Achse bei (0 | 1).

Multiple Choice #7 35s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Wie lautet der Term?

● f(x) = 3 · 4ˣ
○ f(x) = 4 · 3ˣ
○ f(x) = 3 · 9ˣ

Der Punkt bei x = 0 hat y = 3, also b = 3. Ein Schritt bis zum Punkt bei x = 1 multipliziert mit a = 12 : 3 = 4. Bei 4 · 3ˣ sind b und a vertauscht, 9 ist die Differenz 12 − 3 und wäre linear gedacht.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch (0 | 2) und (1 | 6). Dann ist a = 4.

✓ Falsch

Ein Schritt multipliziert mit a: a = 6 : 2 = 3. Die 4 entsteht als Differenz 6 − 2, das wäre eine Zunahme und keine Basis.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne f(0) für f(x) = 7 · 1,3ˣ.

✓ Antwort: 7

1,3⁰ = 1, also f(0) = 7 · 1 = 7. Der Wert an der Stelle 0 ist immer der Anfangswert b.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Für welchen Wert von a ist der Graph von f(x) = 6 · aˣ eine waagrechte Gerade?

✓ Antwort: 1

Bei a = 1 gilt 1ˣ = 1 für jedes x, also f(x) = 6. Für a > 1 steigt der Graph, für a < 1 fällt er.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 5 · 0,5ˣ nähert sich für große x immer mehr der Geraden y = ___

✓ Antwort: 0

0,5ˣ wird für große x beliebig klein: 0,5¹⁰ ≈ 0,001. Der Graph nähert sich der x-Achse y = 0 an, erreicht sie aber nie.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Berechne a.

✓ Antwort: 4

b = 5 und 5 · a = 20, also a = 20 : 5 = 4.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · 1,5ˣ geht durch den Punkt P (Bild). Berechne b.

✓ Antwort: 4

Aus 9 = b · 1,5² = b · 2,25 folgt b = 9 : 2,25 = 4. Der y-Achsenabschnitt ist also (0 | 4).

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne f(3) für f(x) = 40 · 0,5ˣ.

✓ Antwort: 5

f(3) = 40 · 0,5³ = 40 · 0,125 = 5. Der Wert halbiert sich in jedem Schritt: 40, 20, 10, 5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f(−4) für f(x) = 3 · 2ˣ.

✓ Antwort: 0.1875

2⁻⁴ = 1/16, also f(−4) = 3/16 = 0,1875. Der Wert ist positiv und klein, der Graph liegt links knapp über der x-Achse.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · aˣ (mit a > 0) geht durch (0 | 3) und (2 | 75). Berechne a.

✓ Antwort: 5

b = 3 und 3 · a² = 75, also a² = 25 und a = 5 (a > 0). Es genügt nicht, 75 : 3 = 25 zu rechnen, denn das ist a².

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = b · aˣ geht durch die beiden markierten Punkte. Berechne a.

✓ Antwort: 2

Der Punkt (0 | 2) gibt b = 2. Der Punkt (3 | 16) gibt 2 · a³ = 16, also a³ = 8 und a = 2.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Eine Exponentialfunktion f(x) = b · aˣ mit b > 0 und a > 0 geht durch P(0 | 3) und Q(2 | 27). Bestimme b und a und gib den Funktionsterm an. Entscheide, ob der Graph steigt oder fällt, und nenne den y-Achsenabschnitt und die Asymptote. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Aus P(0 | 3) folgt b = 3. Aus Q(2 | 27): 3 · a² = 27, also a² = 9 und a = 3 (a > 0). Term: f(x) = 3 · 3ˣ. Wegen a = 3 > 1 steigt der Graph, der y-Achsenabschnitt ist (0 | 3), die waagrechte Asymptote ist y = 0.

b = 3 steht in P, a folgt aus 3a² = 27. Wegen a = 3 > 1 steigt der Graph, er schneidet die y-Achse bei (0 | 3) und nähert sich der x-Achse.