Faktor statt Zuwachs
Welche Wertetabelle gehört zu einem exponentiellen Wachstum?
ErklÀrung: In 3, 6, 12, 24 ist der Quotient benachbarter Werte immer 2 (6 : 3 = 12 : 6 = 24 : 12). In 3, 6, 9, 12 ist die Differenz immer 3, das ist linear. In 3, 5, 9, 15 wachsen die Werte zwar, aber weder die Differenzen (2, 4, 6) noch die Quotienten (1,67; 1,8; 1,67) sind gleich.
Die Balken zeigen eine exponentielle Abnahme.
ErklĂ€rung: Jeder Balken ist das 0,9-Fache des vorigen: 72 : 80 = 64,8 : 72 = 58,32 : 64,8 = 0,9. Gleicher Quotient heiĂt exponentiell; der Faktor liegt unter 1, also nimmt der Bestand ab.
Wie Àndert sich der Bestand von Balken zu Balken?
ErklÀrung: 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3, der Quotient ist immer gleich. Die Differenzen sind 4, 12 und 36, also nicht konstant. Die 4 aus dem ersten Schritt gilt nur dort.
In der Tabelle 12, 20, 28, 36 ist der Quotient benachbarter Werte immer gleich.
ErklĂ€rung: Die Differenz ist immer 8, das ist linear. Die Quotienten sind 20 : 12 â 1,67, 28 : 20 = 1,4 und 36 : 28 â 1,29, also verschieden.
Ein Bestand wÀchst exponentiell: 250, 300, 360. Wie groà ist der Faktor pro Schritt?
ErklÀrung: Quotient benachbarter Werte: 300 : 250 = 1,2 und 360 : 300 = 1,2. Der Faktor ist 1,2.
Die Werte 200, 240, 288 wachsen exponentiell weiter. Wie lautet der nÀchste Wert?
ErklÀrung: Faktor: 240 : 200 = 288 : 240 = 1,2. NÀchster Wert: 288 · 1,2 = 345,6. Addieren der letzten Differenz (48) ergÀbe 336 und wÀre linear gerechnet.
Eine Kultur hat zu Beginn 500 Zellen und verdreifacht sich jeden Tag. Welcher Term gibt die Zellenzahl nach n Tagen an?
ErklĂ€rung: Der Anfangswert 500 steht vor der Potenz, der Faktor 3 steht in der Basis: 500 · 3âż. Bei 3 · 500âż wĂ€ren Anfangswert und Faktor vertauscht, 500 + 3n wĂ€re ein Zuwachs von 3 pro Tag (linear).
Der Bestand f(n) = 40 · 1,5âż (Balken fĂŒr n = 0 bis 3) wĂ€chst in jedem Schritt um 20.
ErklĂ€rung: Nur im ersten Schritt kommen 20 dazu (40 â 60). Danach kommen 30 (60 â 90) und 45 (90 â 135) dazu. Konstant ist nicht der Zuwachs, sondern der Faktor 1,5.
Welcher Term passt zu den Balken fĂŒr n = 0, 1, 2, 3?
ErklĂ€rung: Bei n = 0 ist der Wert 3, das ist der Anfangswert b. Von Balken zu Balken verdoppelt sich der Wert, also ist a = 2: f(n) = 3 · 2âż. Bei 2 · 3âż stĂŒnde bei n = 0 der Wert 2.
Berechne f(6) fĂŒr f(n) = 5 · 2âż.
ErklÀrung: f(6) = 5 · 2ⶠ= 5 · 64 = 320. Die Potenz wird zuerst berechnet, erst dann mit 5 multipliziert; (5 · 2)ⶠwÀre falsch.
Ein Pilzgeflecht bedeckt 12 cmÂČ und wird jeden Tag 1,5-mal so groĂ. Wie viele cmÂČ bedeckt es nach 4 Tagen?
ErklĂ€rung: f(4) = 12 · 1,5⎠= 12 · 5,0625 = 60,75 cmÂČ. Der Faktor 1,5 wird viermal angewendet, nicht 4 · 1,5 = 6 mal.
Eine Hefezelle verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Hefezellen sind es ungefÀhr nach 12 Stunden?
ErklĂ€rung: Nach n Stunden sind es 2âż Zellen, also 2ÂčÂČ = 4096. Die 24 entsteht, wenn man 12 · 2 rechnet, die 13, wenn man immer nur eine Zelle dazuzĂ€hlt.
Wenn sich ein Bestand 30-mal verdoppelt, ist er mehr als eine Milliarde Mal so groĂ wie am Anfang.
ErklĂ€rung: 2Âłâ° = 1 073 741 824, das ist mehr als eine Milliarde. Schon 30 Verdopplungen machen aus einer Zelle ĂŒber eine Milliarde.
Die Zellen verdoppeln sich weiter. Wie viele sind es in Stunde 7?
ErklĂ€rung: Der Wert verdoppelt sich in jeder Stunde: Stunde 6 hat 192, Stunde 7 hat 384 (= 3 · 2â·). Wer die letzte Zunahme 48 fortschreibt, kommt auf 96 + 2 · 48 = 192 (das ist der Wert von Stunde 6), und die 144 bleibt schon nach einem Schritt stehen: 96 + 48.
Ein Bestand verdoppelt sich 8-mal. Auf das Wievielfache wÀchst er?
ErklÀrung: 2➠= 256. Der Bestand ist danach das 256-Fache des Anfangswerts.
Eine Zelle verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden sind es erstmals mehr als 5000 Zellen?
ErklĂ€rung: 2ÂčÂČ = 4096 ist noch kleiner als 5000, 2ÂčÂł = 8192 ist gröĂer. Also sind es nach 13 Stunden erstmals mehr als 5000 Zellen.
Anna legt 100 ⏠an und bekommt jeden Monat 30 ⏠dazu. Ben legt 100 ⏠an, sein Guthaben wird jeden Monat mit 1,3 multipliziert. Stelle beide Guthaben fĂŒr die Monate 0 bis 4 in einer Tabelle dar. Zeige durch Differenzen bzw. Quotienten, welche Entwicklung linear und welche exponentiell ist, und gib an, ab welchem Monat Ben mehr Geld hat als Anna.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Bei Anna ist die Differenz immer 30, bei Ben ist der Quotient immer 1,3. Im Monat 1 sind beide gleichauf, ab Monat 2 (169 gegen 160) liegt Ben vorn und der Abstand wird gröĂer.