Faktor statt Zuwachs
Factor, not increment
Linear wächst, was in jedem Schritt um dieselbe Zahl zunimmt; exponentiell wächst, was in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert wird. An Wertetabellen prüft man das mit Differenzen und Quotienten benachbarter Werte, der Term heißt b · aⁿ mit Anfangswert b und Wachstumsfaktor a. Der Abschnitt räumt aus, dass jedes wachsende Muster exponentiell sei und dass man exponentielles Wachstum linear fortsetzen dürfe (Confrey und Smith 1994; Wagenaar und Sagaria 1975). Er bereitet Prozent und Faktor sowie den Graphen von b · aˣ vor.
Zuwachs oder Faktor?
Anna und Ben legen je
| Monat n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Anna | 100 | 130 | 160 | 190 | 220 |
| Ben | 100 | 130 | 169 | 219,70 | 285,61 |
Bei Anna ist die Differenz benachbarter Werte immer 30: Das Wachstum ist linear.
Bei Ben ist der Quotient benachbarter Werte immer gleich, denn
Ben nach n Monaten:
Verdoppeln unterschätzt man
Eine Zellkultur beginnt mit einer Zelle und verdoppelt sich jede Stunde: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Der Faktor ist 2, der
Term
Wer nur fortschreibt, was zuletzt dazukam, rechnet linear: In Stunde 6 kamen 32 Zellen dazu, das ergäbe für
Stunde 10 nur
Damit löst sich das Rätsel vom Teich: Weil sich die Fläche jeden Tag verdoppelt, war er einen Tag vor dem Ende halb bedeckt, am 29. Tag und nicht am 15. Wer in gleichen Zuwächsen denkt, verschätzt sich um 14 Tage.
Ermöglicht (1)
Welche Wertetabelle gehört zu einem exponentiellen Wachstum?
Die Balken zeigen eine exponentielle Abnahme.
Wie ändert sich der Bestand von Balken zu Balken?
In der Tabelle 12, 20, 28, 36 ist der Quotient benachbarter Werte immer gleich.
Eine Kultur hat zu Beginn 500 Zellen und verdreifacht sich jeden Tag. Welcher Term gibt die Zellenzahl nach n Tagen an?
Der Bestand f(n) = 40 · 1,5ⁿ (Balken für n = 0 bis 3) wächst in jedem Schritt um 20.
Welcher Term passt zu den Balken für n = 0, 1, 2, 3?
Eine Hefezelle verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Hefezellen sind es ungefähr nach 12 Stunden?
Wenn sich ein Bestand 30-mal verdoppelt, ist er mehr als eine Milliarde Mal so groß wie am Anfang.
Die Zellen verdoppeln sich weiter. Wie viele sind es in Stunde 7?
Ein Bestand wächst exponentiell: 250, 300, 360. Wie groß ist der Faktor pro Schritt?
Berechne f(6) für f(n) = 5 · 2ⁿ.
Ein Bestand verdoppelt sich 8-mal. Auf das Wievielfache wächst er?
Die Werte 200, 240, 288 wachsen exponentiell weiter. Wie lautet der nächste Wert?
Ein Pilzgeflecht bedeckt 12 cm² und wird jeden Tag 1,5-mal so groß. Wie viele cm² bedeckt es nach 4 Tagen?
Eine Zelle verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden sind es erstmals mehr als 5000 Zellen?
Anna legt 100 € an und bekommt jeden Monat 30 € dazu. Ben legt 100 € an, sein Guthaben wird jeden Monat mit 1,3 multipliziert. Stelle beide Guthaben für die Monate 0 bis 4 in einer Tabelle dar. Zeige durch Differenzen bzw. Quotienten, welche Entwicklung linear und welche exponentiell ist, und gib an, ab welchem Monat Ben mehr Geld hat als Anna. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.