Der Logarithmus

17 Aufgaben · interaktiv

Wie groß ist log₂ 8?

Erklärung: log₂ 8 fragt: Mit welchem Exponenten wird aus 2 die Zahl 8? 2³ = 8, also log₂ 8 = 3. Die 4 entsteht durch 8 : 2, die 6 durch 8 − 2; beides sind Rechnungen mit den zwei Zahlen und keine Exponenten.

log₅ 125 = 3

Erklärung: Gesucht ist der Exponent x mit 5ˣ = 125: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125, also log₅ 125 = 3. Der Quotient 125 : 5 = 25 ist kein Exponent, denn 5²⁵ wäre riesig.

Eine Kultur verdoppelt sich jede Stunde (Balken). Nach wie vielen Stunden sind es 16 Zellen?

Erklärung: 16 = 2⁴, also nach 4 Stunden. Die 16 ist die Zellenzahl und keine Stundenzahl, die 8 entsteht durch 16 : 2.

Berechne log₁₀ 1000.

Erklärung: 10³ = 1000, also log₁₀ 1000 = 3. Die Zahl der Nullen von 1000 ist der Exponent.

Die Balken zeigen eine Kultur, die sich jede Stunde verdoppelt. Nach wie vielen Stunden sind es 64 Zellen?

Erklärung: Gesucht ist x mit 2ˣ = 64. Es gilt 2⁶ = 64, also log₂ 64 = 6 Stunden.

Wie groß ist log₂ (1/8)?

Erklärung: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, also log₂ (1/8) = −3. Bei +3 wäre 2³ = 8, und die −8 verwechselt den Exponenten mit dem Nenner.

log₅ 1 = 1

Erklärung: 5⁰ = 1, also log₅ 1 = 0. Für jede Basis b gilt b⁰ = 1, deshalb ist log_b 1 immer 0. Der Wert 1 gehört zu log₅ 5 = 1.

Die gestrichelte Gerade y = 0,25 schneidet den Graphen von y = 2ˣ. Welchen Wert hat log₂ 0,25?

Erklärung: log₂ 0,25 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts, also x = −2, denn 2⁻² = 1/4 = 0,25. Bei +2 wäre 2² = 4, und die −4 verwechselt 0,25 = 1/4 mit dem Exponenten 4.

log₇ 7 = ___

Erklärung: 7¹ = 7, also log₇ 7 = 1. Für jede Basis b gilt log_b b = 1.

Berechne log₁₀ 0,01.

Erklärung: 0,01 = 1/100 = 10⁻², also log₁₀ 0,01 = −2.

Für welche Zahl y gilt log₂ y = −3?

Erklärung: log₂ y = −3 bedeutet 2⁻³ = y, also y = 1/8 = 0,125.

Die Balken zeigen 2ⁿ. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt log₂ 20?

Erklärung: 2⁴ = 16 < 20 < 32 = 2⁵, also liegt log₂ 20 zwischen 4 und 5. Die Zahlen 10 und 11 kämen aus 20 : 2 = 10 und sind keine Exponenten.

Die Balken zeigen 2ⁿ. Dann liegt log₂ 100 zwischen 6 und 7.

Erklärung: 2⁶ = 64 < 100 < 128 = 2⁷, also 6 < log₂ 100 < 7.

Die Balken zeigen 2ⁿ. Dann ist log₂ 5 größer als 3.

Erklärung: 2³ = 8 ist schon größer als 5, der gesuchte Exponent muss also kleiner als 3 sein: 2 < log₂ 5 < 3.

Berechne log₂ 50 mit dem Taschenrechner, auf 2 Dezimalstellen gerundet.

Erklärung: 2⁵ = 32 < 50 < 64 = 2⁶, also liegt der Wert zwischen 5 und 6. Der Taschenrechner liefert log₂ 50 ≈ 5,64.

Eine Kultur startet mit 1 Zelle und verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen vollen Stunden sind es erstmals mehr als 100 000 Zellen?

Erklärung: 2¹⁶ = 65 536 ist noch zu klein, 2¹⁷ = 131 072 ist größer als 100 000. Also liegt log₂ 100 000 ≈ 16,6 zwischen 16 und 17, und es dauert 17 volle Stunden.

Bestimme ohne Taschenrechner mithilfe der Definition log₂ 32, log₃ (1/27), log₅ 1 und log₆ 6 und schreibe zu jedem Wert die Potenzgleichung dazu. Schachtle außerdem log₂ 200 zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ein und begründe die Schranken mit Zweierpotenzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Jeder Wert ist ein Exponent: 2⁵ = 32, 3⁻³ = 1/27, 5⁰ = 1, 6¹ = 6. Wegen 128 < 200 < 256 liegt log₂ 200 zwischen 7 und 8.

Aufgabe 1 von 17