Der Logarithmus

The logarithm

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben

ExponentiellLogarithmusFunktionen

Der Logarithmus log_b(y) ist der Exponent, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um y zu erhalten: log₂ 8 = 3, weil 2³ = 8. Er beantwortet die Umkehrfrage, die Wachstum und Zerfall stellen (Wann sind es 8 Zellen?). Sonderfälle wie log_b 1 = 0 und log₂ (1/4) = −2 folgen aus der Definition; sonst schachtelt man zwischen zwei Potenzen ein oder nimmt den Taschenrechner. Der Abschnitt räumt aus, den Logarithmus als Rechnung mit den beiden Zahlen zu lesen (log₂ 8 = 8 : 2; Weber 2002). Er bereitet Exponentialgleichungen, den ln und die Umkehrfunktion vor.

Die Frage nach dem Exponenten

Eine Kultur verdoppelt sich jede Stunde. Wann sind es 8 Zellen? Gesucht ist der Exponent x mit $2^{x} = 8$ , und er ist 3. Diese Frage hat einen Namen: Der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist der Exponent, mit dem man 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten.

$lo g_{2} 8 = 3 weil 2^{3} = 8$ So ist $lo g_{3} 81 = 4$ , denn $3^{4} = 81$ . Der Logarithmus ist keine Rechnung mit den Zahlen 2 und 8, er liefert einen Exponenten.

Stelle e so ein, dass 2ᵉ genau den Zielwert 8 erreicht. Welchen Wert hat e dann?

Sonderfälle und Einschachteln

Aus der Definition folgen Sonderfälle: $lo g_{b} 1 = 0$ , weil $b^{0} = 1$ , und $lo g_{b} b = 1$ , weil $b^{1} = b$ . Auch $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ gilt, denn $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, deshalb haben 0 und negative Zahlen keinen Logarithmus. Die Basis selbst ist immer positiv und ungleich 1.

Ist der Exponent keine ganze Zahl, hilft Einschachteln: Wegen $2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}$ liegt $lo g_{2} 5$ zwischen 2 und 3. Den genauen Wert liefert der Taschenrechner (Taste $lo g_{□}$ ): etwa 2,32.

Der Exponent von log₂ 5 liegt zwischen den Exponenten 2 und 3.

Ermöglicht (1)

Exponentialgleichungen lösen

Klasse 10

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Wie groß ist log₂ 8?

● 3
○ 4
○ 6

log₂ 8 fragt: Mit welchem Exponenten wird aus 2 die Zahl 8? 2³ = 8, also log₂ 8 = 3. Die 4 entsteht durch 8 : 2, die 6 durch 8 − 2; beides sind Rechnungen mit den zwei Zahlen und keine Exponenten.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

log₅ 125 = 3

✓ Wahr

Gesucht ist der Exponent x mit 5ˣ = 125: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125, also log₅ 125 = 3. Der Quotient 125 : 5 = 25 ist kein Exponent, denn 5²⁵ wäre riesig.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Eine Kultur verdoppelt sich jede Stunde (Balken). Nach wie vielen Stunden sind es 16 Zellen?

● 4
○ 8
○ 16

16 = 2⁴, also nach 4 Stunden. Die 16 ist die Zellenzahl und keine Stundenzahl, die 8 entsteht durch 16 : 2.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Wie groß ist log₂ (1/8)?

● −3
○ 3
○ −8

2⁻³ = 1/2³ = 1/8, also log₂ (1/8) = −3. Bei +3 wäre 2³ = 8, und die −8 verwechselt den Exponenten mit dem Nenner.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

log₅ 1 = 1

✓ Falsch

5⁰ = 1, also log₅ 1 = 0. Für jede Basis b gilt b⁰ = 1, deshalb ist log_b 1 immer 0. Der Wert 1 gehört zu log₅ 5 = 1.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Die gestrichelte Gerade y = 0,25 schneidet den Graphen von y = 2ˣ. Welchen Wert hat log₂ 0,25?

● −2
○ 2
○ −4

log₂ 0,25 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts, also x = −2, denn 2⁻² = 1/4 = 0,25. Bei +2 wäre 2² = 4, und die −4 verwechselt 0,25 = 1/4 mit dem Exponenten 4.

Multiple Choice #7 35s ▶ Testen

Die Balken zeigen 2ⁿ. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt log₂ 20?

● 4 und 5
○ 3 und 4
○ 10 und 11

2⁴ = 16 < 20 < 32 = 2⁵, also liegt log₂ 20 zwischen 4 und 5. Die Zahlen 10 und 11 kämen aus 20 : 2 = 10 und sind keine Exponenten.

Wahr / Falsch #8 25s ▶ Testen

Die Balken zeigen 2ⁿ. Dann liegt log₂ 100 zwischen 6 und 7.

✓ Wahr

2⁶ = 64 < 100 < 128 = 2⁷, also 6 < log₂ 100 < 7.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Balken zeigen 2ⁿ. Dann ist log₂ 5 größer als 3.

✓ Falsch

2³ = 8 ist schon größer als 5, der gesuchte Exponent muss also kleiner als 3 sein: 2 < log₂ 5 < 3.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne log₁₀ 1000.

✓ Antwort: 3

10³ = 1000, also log₁₀ 1000 = 3. Die Zahl der Nullen von 1000 ist der Exponent.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

log₇ 7 = ___

✓ Antwort: 1

7¹ = 7, also log₇ 7 = 1. Für jede Basis b gilt log_b b = 1.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne log₁₀ 0,01.

✓ Antwort: -2

0,01 = 1/100 = 10⁻², also log₁₀ 0,01 = −2.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne log₂ 50 mit dem Taschenrechner, auf 2 Dezimalstellen gerundet.

✓ Antwort: 5.64

2⁵ = 32 < 50 < 64 = 2⁶, also liegt der Wert zwischen 5 und 6. Der Taschenrechner liefert log₂ 50 ≈ 5,64.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Die Balken zeigen eine Kultur, die sich jede Stunde verdoppelt. Nach wie vielen Stunden sind es 64 Zellen?

✓ Antwort: 6

Gesucht ist x mit 2ˣ = 64. Es gilt 2⁶ = 64, also log₂ 64 = 6 Stunden.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welche Zahl y gilt log₂ y = −3?

✓ Antwort: 0.125

log₂ y = −3 bedeutet 2⁻³ = y, also y = 1/8 = 0,125.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Eine Kultur startet mit 1 Zelle und verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen vollen Stunden sind es erstmals mehr als 100 000 Zellen?

✓ Antwort: 17

2¹⁶ = 65 536 ist noch zu klein, 2¹⁷ = 131 072 ist größer als 100 000. Also liegt log₂ 100 000 ≈ 16,6 zwischen 16 und 17, und es dauert 17 volle Stunden.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Bestimme ohne Taschenrechner mithilfe der Definition log₂ 32, log₃ (1/27), log₅ 1 und log₆ 6 und schreibe zu jedem Wert die Potenzgleichung dazu. Schachtle außerdem log₂ 200 zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ein und begründe die Schranken mit Zweierpotenzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: log₂ 32 = 5, weil 2⁵ = 32. log₃ (1/27) = −3, weil 3⁻³ = 1/27. log₅ 1 = 0, weil 5⁰ = 1. log₆ 6 = 1, weil 6¹ = 6. Einschachteln: 2⁷ = 128 < 200 < 256 = 2⁸, also 7 < log₂ 200 < 8 (Taschenrechner ≈ 7,64).

Jeder Wert ist ein Exponent: 2⁵ = 32, 3⁻³ = 1/27, 5⁰ = 1, 6¹ = 6. Wegen 128 < 200 < 256 liegt log₂ 200 zwischen 7 und 8.