Prozent und Faktor
Ein Preis sinkt um 15 %. Mit welchem Faktor wird der alte Preis multipliziert?
Erklärung: Nach der Senkung bleiben 100 % − 15 % = 85 % übrig, also der Faktor 0,85. Der Faktor 0,15 gehörte zu einer Senkung um 85 %, der Faktor 1,15 zu einer Zunahme um 15 %.
Eine Zunahme um 6 % gehört zum Faktor 1,6.
Erklärung: Zunahme um 6 % heißt 100 % + 6 % = 106 % = 1,06. Der Faktor 1,6 gehörte zu einer Zunahme um 60 %.
Der Bestand wächst um 5 % (Pfeil). Mit welchem Faktor wird er multipliziert?
Erklärung: Zunahme um 5 % heißt 105 % des alten Werts, also der Faktor 1,05. Der Faktor 1,5 wäre eine Zunahme um 50 %, der Faktor 0,05 ein Rest von nur 5 %.
Ein Bestand nimmt um 4 % zu. Wie groß ist der Faktor?
Erklärung: Zunahme um 4 %: Faktor 1 + 4/100 = 1,04.
Ein Bestand nimmt um 12 % ab. Wie groß ist der Faktor?
Erklärung: Abnahme um 12 %: Faktor 1 − 12/100 = 0,88.
Ein Tablet kostet 250 €. Der Preis steigt um 8 %. Wie viel € kostet es danach?
Erklärung: Faktor 1,08: 250 € · 1,08 = 270 €. Wer nur 8 € dazuzählt, kommt auf 258 €.
Ein Bestand wird mit 1,12 multipliziert. Wie ändert er sich?
Erklärung: 1,12 = 112 % des alten Werts, das sind 12 % mehr als vorher: 1,12 − 1 = 0,12 = 12 %. Um 112 % nähme er zu, wenn der Faktor 2,12 wäre.
Der Faktor 0,85 bedeutet eine Abnahme um 85 %.
Erklärung: 0,85 = 85 % bleiben übrig, also nimmt der Bestand um 15 % ab: 0,85 − 1 = −0,15. Eine Abnahme um 85 % hätte den Faktor 0,15.
Der Bestand geht von 250 auf 200 zurück (Balken). Wie ändert er sich?
Erklärung: 200 : 250 = 0,8, und 0,8 − 1 = −0,2, also −20 %. Die 25 % entstehen, wenn man die 50 Abnahme durch den neuen Wert 200 statt durch den alten Wert 250 teilt; 80 % ist der Faktor selbst als Prozentsatz gelesen.
Ein Bestand wird mit 0,93 multipliziert. Um wie viel Prozent ändert er sich? (Abnahme mit Minuszeichen)
Erklärung: 0,93 − 1 = −0,07 = −7 %. Der Bestand nimmt um 7 % ab.
Der Wert wächst von 80 auf 92 (Balken). Um wie viel Prozent ist er gewachsen?
Erklärung: Faktor 92 : 80 = 1,15, und 1,15 − 1 = 0,15 = 15 %. Die Zunahme von 12 wird durch den alten Wert 80 geteilt.
Ein Preis steigt zweimal hintereinander um 30 %. Mit welchem Faktor wird der Startpreis insgesamt multipliziert?
Erklärung: Jeder Schritt hat den Faktor 1,3, beide zusammen 1,3 · 1,3 = 1,69. Der Faktor 1,6 entsteht, wenn man 30 % + 30 % addiert; 1,3 wäre erst ein Schritt.
Auf den Start (Balken 100) folgt +50 % (Balken 150), danach −50 %. Dann ist der Bestand wieder so groß wie am Start.
Erklärung: Die Faktoren sind 1,5 und 0,5, ihr Produkt ist 0,75. Der Bestand liegt 25 % unter dem Start, weil der zweite Schritt vom größeren Wert ausgeht.
Der erste Schritt von 200 auf 220 war +10 % (Pfeil). Der zweite Schritt ist wieder +10 %. Welcher Wert ist danach erreicht?
Erklärung: Der zweite Schritt geht von 220 aus: 220 · 1,1 = 242. Wer wieder 20 dazuzählt, kommt auf 240. 264 entsteht, wenn man 220 mit 1,2 multipliziert.
Ein Bestand wächst zweimal hintereinander um 20 %. Die Balken zeigen den Start und den ersten Schritt. Wie groß ist der Gesamtfaktor?
Erklärung: 1,2 · 1,2 = 1,44. Der Bestand wächst also um 44 % und nicht um 40 %.
Ein Guthaben von 400 € wächst zwei Jahre lang um jeweils 5 % pro Jahr. Wie viel € sind es nach 2 Jahren?
Erklärung: 400 € · 1,05 · 1,05 = 400 € · 1,1025 = 441 €. Mit 10 % Gesamtzuwachs (440 €) wäre man 1 € zu niedrig.
Auf 500 (Start) folgt +20 % (Balken 600), danach −20 %. Wie groß ist der Bestand am Ende?
Erklärung: 600 · 0,8 = 480. Die 20 % des zweiten Schritts beziehen sich auf 600, also sind es 120 weniger, und 600 − 120 = 480, nicht wieder 500.
Ein Fahrrad kostet 500 €. Im Frühjahr steigt der Preis um 10 %, im Herbst sinkt er um 10 %. Gib für jeden Schritt den Faktor an, berechne den Endpreis und begründe damit, dass es nicht wieder 500 € sind. Um wie viel Prozent weicht der Endpreis vom Anfangspreis ab?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die zwei Prozentschritte werden als Faktoren 1,1 und 0,9 multipliziert: 0,99. Der zweite Schritt geht von 550 € aus, deshalb liegt der Endpreis 1 % unter dem Start.