Prozent und Faktor

Percentage and factor

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

ExponentiellProzentModellieren

Eine Änderung um p % ist eine Multiplikation: Zunahme um p % bedeutet den Faktor 1 + p/100, Abnahme um p % den Faktor 1 − p/100, und aus einem Faktor a liest man die Änderung (a − 1) · 100 % ab. Mehrere Prozentschritte hintereinander multipliziert man, ihre Prozentsätze addiert man nicht (Parker und Leinhardt 1995; Confrey und Smith 1995). Der Abschnitt räumt aus, dass −20 % den Faktor 0,2 ergibt und dass zweimal +10 % genau +20 % sind. Er bereitet Zerfall und Halbwertszeit sowie das Modellieren mit Wachstumsfaktoren vor.

Vom Prozentsatz zum Faktor

Ein Guthaben von 100 € wächst um 5 %. Dann ist es 100 % + 5 % = 105 % des alten Werts, also $100 \cdot 1, 05 = 105$ . Der Faktor ist 1,05.

Zunahme um p % heißt Faktor $a = 1 + \frac{p}{100}$ , Abnahme um p % heißt $a = 1 - \frac{p}{100}$ . Eine Abnahme um 20 % hat also den Faktor 0,8, denn 80 % bleiben übrig. Der Faktor 0,2 gehörte zu einer Abnahme um 80 %.

Zurück geht es mit $a - 1$ : Der Faktor 1,08 bedeutet +8 %, der Faktor 0,93 bedeutet −7 %, der Faktor 2 bedeutet +100 %. Nach n gleichen Schritten ist der Bestand $100 \cdot a^{n}$ .

Ändere den Prozentsatz p. Ab welchem p beginnt der Bestand zu sinken, und welchen Faktor zeigt das Feld a dann?

Prozente hintereinander

Ein Preis von 100 € steigt zweimal um 10 %. Erst $100 \cdot 1, 1 = 110$ , dann $110 \cdot 1, 1 = 121$ . Insgesamt sind es 1,1 · 1,1 = 1,21, also +21 % und nicht +20 %: Der zweite Schritt geht vom schon größeren Wert aus. Die Faktoren werden multipliziert, die Prozentsätze nicht addiert.

Aus demselben Grund führt +20 % und danach −20 % nicht zum Start zurück: $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , es sind 4 % weniger. Bei n Schritten mit +p % rechnet man $(1 + \frac{p}{100})^{n}$ , wie beim Zinseszins.

Zwei Sprünge mit dem Faktor 1,1 landen bei 121, nicht bei 120.

Ermöglicht (1)

Zerfall und Halbwertszeit

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Preis sinkt um 15 %. Mit welchem Faktor wird der alte Preis multipliziert?

● 0,85
○ 0,15
○ 1,15

Nach der Senkung bleiben 100 % − 15 % = 85 % übrig, also der Faktor 0,85. Der Faktor 0,15 gehörte zu einer Senkung um 85 %, der Faktor 1,15 zu einer Zunahme um 15 %.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Eine Zunahme um 6 % gehört zum Faktor 1,6.

✓ Falsch

Zunahme um 6 % heißt 100 % + 6 % = 106 % = 1,06. Der Faktor 1,6 gehörte zu einer Zunahme um 60 %.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Bestand wächst um 5 % (Pfeil). Mit welchem Faktor wird er multipliziert?

● 1,05
○ 0,05
○ 1,5

Zunahme um 5 % heißt 105 % des alten Werts, also der Faktor 1,05. Der Faktor 1,5 wäre eine Zunahme um 50 %, der Faktor 0,05 ein Rest von nur 5 %.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Bestand wird mit 1,12 multipliziert. Wie ändert er sich?

● Er nimmt um 12 % zu
○ Er nimmt um 112 % zu
○ Er nimmt um 1,12 % zu

1,12 = 112 % des alten Werts, das sind 12 % mehr als vorher: 1,12 − 1 = 0,12 = 12 %. Um 112 % nähme er zu, wenn der Faktor 2,12 wäre.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Faktor 0,85 bedeutet eine Abnahme um 85 %.

✓ Falsch

0,85 = 85 % bleiben übrig, also nimmt der Bestand um 15 % ab: 0,85 − 1 = −0,15. Eine Abnahme um 85 % hätte den Faktor 0,15.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Der Bestand geht von 250 auf 200 zurück (Balken). Wie ändert er sich?

● Er nimmt um 20 % ab
○ Er nimmt um 25 % ab
○ Er nimmt um 80 % ab

200 : 250 = 0,8, und 0,8 − 1 = −0,2, also −20 %. Die 25 % entstehen, wenn man die 50 Abnahme durch den neuen Wert 200 statt durch den alten Wert 250 teilt; 80 % ist der Faktor selbst als Prozentsatz gelesen.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Preis steigt zweimal hintereinander um 30 %. Mit welchem Faktor wird der Startpreis insgesamt multipliziert?

● 1,69
○ 1,6
○ 1,3

Jeder Schritt hat den Faktor 1,3, beide zusammen 1,3 · 1,3 = 1,69. Der Faktor 1,6 entsteht, wenn man 30 % + 30 % addiert; 1,3 wäre erst ein Schritt.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Auf den Start (Balken 100) folgt +50 % (Balken 150), danach −50 %. Dann ist der Bestand wieder so groß wie am Start.

✓ Falsch

Die Faktoren sind 1,5 und 0,5, ihr Produkt ist 0,75. Der Bestand liegt 25 % unter dem Start, weil der zweite Schritt vom größeren Wert ausgeht.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Der erste Schritt von 200 auf 220 war +10 % (Pfeil). Der zweite Schritt ist wieder +10 %. Welcher Wert ist danach erreicht?

● 242
○ 240
○ 264

Der zweite Schritt geht von 220 aus: 220 · 1,1 = 242. Wer wieder 20 dazuzählt, kommt auf 240. 264 entsteht, wenn man 220 mit 1,2 multipliziert.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein Bestand nimmt um 4 % zu. Wie groß ist der Faktor?

✓ Antwort: 1.04

Zunahme um 4 %: Faktor 1 + 4/100 = 1,04.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Ein Bestand nimmt um 12 % ab. Wie groß ist der Faktor?

✓ Antwort: 0.88

Abnahme um 12 %: Faktor 1 − 12/100 = 0,88.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Bestand wird mit 0,93 multipliziert. Um wie viel Prozent ändert er sich? (Abnahme mit Minuszeichen)

✓ Antwort: -7

0,93 − 1 = −0,07 = −7 %. Der Bestand nimmt um 7 % ab.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein Bestand wächst zweimal hintereinander um 20 %. Die Balken zeigen den Start und den ersten Schritt. Wie groß ist der Gesamtfaktor?

✓ Antwort: 1.44

1,2 · 1,2 = 1,44. Der Bestand wächst also um 44 % und nicht um 40 %.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Tablet kostet 250 €. Der Preis steigt um 8 %. Wie viel € kostet es danach?

✓ Antwort: 270

Faktor 1,08: 250 € · 1,08 = 270 €. Wer nur 8 € dazuzählt, kommt auf 258 €.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Der Wert wächst von 80 auf 92 (Balken). Um wie viel Prozent ist er gewachsen?

✓ Antwort: 15

Faktor 92 : 80 = 1,15, und 1,15 − 1 = 0,15 = 15 %. Die Zunahme von 12 wird durch den alten Wert 80 geteilt.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein Guthaben von 400 € wächst zwei Jahre lang um jeweils 5 % pro Jahr. Wie viel € sind es nach 2 Jahren?

✓ Antwort: 441

400 € · 1,05 · 1,05 = 400 € · 1,1025 = 441 €. Mit 10 % Gesamtzuwachs (440 €) wäre man 1 € zu niedrig.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Auf 500 (Start) folgt +20 % (Balken 600), danach −20 %. Wie groß ist der Bestand am Ende?

✓ Antwort: 480

600 · 0,8 = 480. Die 20 % des zweiten Schritts beziehen sich auf 600, also sind es 120 weniger, und 600 − 120 = 480, nicht wieder 500.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Fahrrad kostet 500 €. Im Frühjahr steigt der Preis um 10 %, im Herbst sinkt er um 10 %. Gib für jeden Schritt den Faktor an, berechne den Endpreis und begründe damit, dass es nicht wieder 500 € sind. Um wie viel Prozent weicht der Endpreis vom Anfangspreis ab? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Frühjahr: Faktor 1,1, also 500 € · 1,1 = 550 €. Herbst: Faktor 0,9, also 550 € · 0,9 = 495 €. Gesamtfaktor 1,1 · 0,9 = 0,99, der Endpreis liegt 1 % unter dem Anfangspreis, denn die −10 % im Herbst beziehen sich auf den größeren Wert 550 €.

Die zwei Prozentschritte werden als Faktoren 1,1 und 0,9 multipliziert: 0,99. Der zweite Schritt geht von 550 € aus, deshalb liegt der Endpreis 1 % unter dem Start.