Wachstum modellieren
Ein Bestand wÀchst jeden Monat um 3 % (Balken). Welcher Term gibt den Bestand nach t Monaten an?
ErklÀrung: Der Anfangswert 500 steht vor der Potenz, der Faktor 1 + 3/100 = 1,03 in der Basis. Bei 1,03 · 500ᔠsind Anfangswert und Faktor vertauscht, 0,03 wÀre der Prozentsatz statt des Faktors.
Ein MitschĂŒler rechnet fĂŒr eine Kultur mit 500 Zellen und 10 % Wachstum pro Stunde: âNach 5 Stunden sind es 500 + 5 · 50 = 750.â Was ist an dieser Rechnung falsch?
ErklĂ€rung: 50 sind 10 % von 500, aber nur in der ersten Stunde. In der zweiten Stunde sind 10 % schon mehr, denn der Bestand ist gröĂer. Richtig ist 500 · 1,1â” â 805. Die Einheit Stunde ist in Ordnung, nur das Modell ist linear statt exponentiell.
Der Graph zeigt den Zerfall eines Stoffes (t in Stunden). Welcher Term passt dazu?
ErklĂ€rung: Der Startwert ist 60, und der Bestand ist nach 2 Stunden auf 30 halbiert, die Halbwertszeit ist also 2 Stunden: 60 · 0,5^(t/2). Bei 60 · 0,5á” wĂ€re er schon nach 1 Stunde halbiert, 60 â 15t wĂ€re eine Gerade.
Der Bestand in den Balken nimmt jĂ€hrlich um 5 % ab. Dann gilt f(t) = 800 · 0,05á”.
ErklĂ€rung: Bei einer Abnahme um 5 % bleiben 95 % ĂŒbrig, der Faktor ist 0,95: f(t) = 800 · 0,95á”. Der Faktor 0,05 gehörte zu einer Abnahme um 95 %.
FĂŒr die Stadt gilt f(t) = 12 000 · 1,025á”. Wie viele Einwohner sind es nach 4 Jahren (auf ganze Einwohner gerundet)?
ErklĂ€rung: f(4) = 12 000 · 1,025⎠â 12 000 · 1,1038 â 13 246. Die Antwort ist eine Zahl von Menschen und wird auf ganze Einwohner gerundet.
Ein Guthaben von 2 000 ⏠wird mit 3 % pro Jahr verzinst, die Zinsen bleiben stehen. Wie viel ⏠sind es nach 8 Jahren (auf ganze ⏠gerundet)?
ErklĂ€rung: Faktor 1,03: 2 000 ⏠· 1,03âž â 2 000 ⏠· 1,2668 â 2 534 âŹ. Mit einfachem Aufsummieren (8 · 60 ⏠= 480 âŹ) kĂ€me man nur auf 2 480 âŹ.
Ein Dorf mit 3 000 Einwohnern wÀchst jÀhrlich um 1,5 %. Welche Gleichung ergibt den Zeitpunkt t, an dem es 4 000 Einwohner hat?
ErklĂ€rung: Das Modell ist 3 000 · 1,015á”. FĂŒr 4 000 Einwohner setzt man es gleich 4 000. Bei 3 000 + 1,5 · t ist das Wachstum linear, bei 1,5á” ist der Faktor 1,5 statt 1,015 gewĂ€hlt (das wĂ€ren 50 % Wachstum).
Ein Bestand von 100 und ein Bestand von 5 000 wachsen beide um 3 % pro Jahr. Der Bestand von 100 braucht lÀnger, um sich zu verdoppeln.
ErklĂ€rung: Beide Male gilt b · 1,03á” = 2b, und b kĂŒrzt sich: 1,03á” = 2. Die Verdopplungszeit ist fĂŒr beide etwa 23,4 Jahre, sie hĂ€ngt nur vom Faktor ab.
Löse 1,03ᔠ= 2 (t auf 0,1 genau).
ErklĂ€rung: t · lg 1,03 = lg 2, also t = lg 2 : lg 1,03 â 0,3010 : 0,01284 â 23,4. Ein Bestand mit 3 % Wachstum pro Jahr verdoppelt sich in etwa 23,4 Jahren.
Das Dorf mit 3 000 Einwohnern wÀchst um 1,5 % pro Jahr. Nach wie vielen Jahren sind es 4 000 Einwohner (auf 0,1 Jahre genau)?
ErklĂ€rung: 3 000 · 1,015á” = 4 000 ergibt 1,015á” = 4/3 und t = lg(4/3) : lg 1,015 â 0,1249 : 0,006466 â 19,3 Jahre.
Ein Medikament wird stĂŒndlich zu 15 % abgebaut, zu Beginn sind 200 mg im Blut. Nach wie vielen Stunden sind nur noch 50 mg da (auf 0,1 Stunden genau)?
ErklĂ€rung: Faktor 0,85: 200 · 0,85á” = 50, also 0,85á” = 0,25 und t = lg 0,25 : lg 0,85 â (â0,6021) : (â0,07058) â 8,5 Stunden. Man erwartet mehr als 4 Stunden, weil in jeder Stunde nur 15 % des Restes wegfallen.
Ein Modell 200 · 1,08á” fĂŒr die Pflanzen auf einer Wiese liefert fĂŒr t = 150 Jahre rund 20 Millionen Pflanzen. Wie bewertest du das Ergebnis?
ErklĂ€rung: Richtig gerechnet ist noch nicht richtig modelliert. Das Modell nimmt 8 % Wachstum fĂŒr 150 Jahre an, aber die Wiese hat nur begrenzt Platz. Ergebnisse mĂŒssen im Sachzusammenhang geprĂŒft werden.
Die Kurve zeigt den Fischbestand im Modell 5 000 · 1,04á”, die gestrichelte Gerade die KapazitĂ€t 30 000 des Sees. Bei t = 55 Jahren liegt das Modell ĂŒber der KapazitĂ€t.
ErklĂ€rung: Im Bild endet die Kurve bei t = 40 mit etwa 24 000 noch unter der KapazitĂ€t, sie steigt aber immer steiler. Ab t â 45,7 liegt sie ĂŒber der Geraden; bei t = 55 liefert das Modell 5 000 · 1,04â”â” â 43 200 und damit mehr Fische, als der See tragen kann: Dort gilt das Modell nicht mehr.
Berechne 1,04â”â° (auf 0,1 genau). So oft ist der Fischbestand nach 50 Jahren gröĂer als heute.
ErklĂ€rung: 1,04â”â° â 7,1. Nach 50 Jahren hĂ€tte das Modell den Bestand gut versiebenfacht, aus 5 000 wĂŒrden rund 35 500 Fische.
Der See fasst höchstens 30 000 Fische. Nach wie vielen vollen Jahren ĂŒberschreitet das Modell 5 000 · 1,04á” diese Grenze erstmals?
ErklĂ€rung: 5 000 · 1,04á” = 30 000 ergibt 1,04á” = 6 und t = lg 6 : lg 1,04 â 45,7. Im Jahr 45 sind es noch ca. 29 200, im Jahr 46 schon ca. 30 400. Danach ist das Modell nicht mehr gĂŒltig.
Eine AlgenflĂ€che von 40 mÂČ wĂ€chst tĂ€glich um 15 %. Der See hat eine FlĂ€che von 4 000 mÂČ. Stelle den Funktionsterm auf, berechne, nach wie vielen Tagen 400 mÂČ erreicht sind, und nach wie vielen vollen Tagen die Algen nach dem Modell den ganzen See bedecken. Bewerte, was das Ergebnis fĂŒr die GĂŒltigkeit des Modells bedeutet.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Modell 40 · 1,15á”. FĂŒr 400 mÂČ gilt 1,15á” = 10, also t â 16,5 Tage, fĂŒr 4 000 mÂČ gilt 1,15á” = 100, also t â 33 Tage. Dann ist der See voll, das unbegrenzte Wachstum des Modells endet in der Wirklichkeit.