Wachstum modellieren

Modelling growth

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
ExponentiellModellierenWachstumsmodelle

Aus Anfangswert und Prozentsatz pro Zeiteinheit entsteht das Modell f(t) = b · aá”—; Einwohnerzahlen und Zerfallsprozesse werden damit berechnet, den Zeitpunkt fĂŒr einen Zielwert findet man mit dem Logarithmus. Jedes Ergebnis wird im Sachzusammenhang geprĂŒft (Rundung, Einheit, Zeiteinheit), und das Modell hat Grenzen: Gleichbleibendes Wachstum gilt nur in einem begrenzten Zeitraum. Der Abschnitt rĂ€umt aus, dass man unbegrenzt extrapolieren darf (Wagenaar und Sagaria 1975) und dass ein Ergebnis ohne Sachbezug fertig sei (Blum und Leiß 2007). Er bereitet Wachstum im Sachkontext der Jahrgangsstufe 12 (e-Funktion, Ableitung) vor.

Ein Modell aufstellen

Eine Stadt hat heute 12 000 Einwohner und wÀchst um 2,5 % pro Jahr. Die Modellannahme: Die Wachstumsrate bleibt gleich. Dann ist der Faktor 1,025, und nach t Jahren gilt

Nach 10 Jahren sind es Einwohner, gerundet auf ganze Menschen.

Wann sind es 20 000? Aus folgt und Jahre. Die Antwort nennt Einheit und Zeiteinheit: nach etwa 21 Jahren.

Stelle t ein, bis P die Gerade y = 20 000 erreicht. Nach welchem ganzen Jahr liegt f(t) erstmals darĂŒber?

Grenzen des Modells

Nach 100 Jahren ergibt das Modell etwa 141 800 Einwohner, nach 200 Jahren rund 1,7 Millionen. Das ist nicht glaubwĂŒrdig: Das Modell setzt gleichbleibende 2,5 % voraus, aber FlĂ€che, Wohnraum und ArbeitsplĂ€tze sind begrenzt. Bietet die Stadt Platz fĂŒr höchstens 50 000 Menschen, ĂŒberschreitet die Kurve diese Grenze nach etwa 58 Jahren. Danach passt das Modell nicht mehr zur Wirklichkeit.

Darum prĂŒft man jedes Ergebnis im Sachzusammenhang und variiert das Modell bei Bedarf, etwa mit einer KapazitĂ€t. Auch fremde Rechnungen lassen sich so kommentieren: Wer rechnet, setzt einen gleichen Zuwachs statt eines gleichen Faktors an. Und bei einer Datenmenge, die sich alle zwei Jahre verdoppelt, gehören zu den Chancen auch die Risiken: Speicher und Energie mĂŒssen mitwachsen.

VerĂ€ndere p. Wie verschiebt sich der Zeitpunkt, an dem die Kurve die KapazitĂ€tsgrenze ĂŒberschreitet, und was folgt daraus fĂŒr die GĂŒltigkeit?

Voraussetzungen (2)

Zerfall und Halbwertszeit
Klasse 10
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Exponentialgleichungen lösen
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Bestand wÀchst jeden Monat um 3 % (Balken). Welcher Term gibt den Bestand nach t Monaten an?

  • ● 500 · 1,03á”—
  • ○ 1,03 · 500á”—
  • ○ 500 · 0,03á”—
Der Anfangswert 500 steht vor der Potenz, der Faktor 1 + 3/100 = 1,03 in der Basis. Bei 1,03 · 500á”— sind Anfangswert und Faktor vertauscht, 0,03 wĂ€re der Prozentsatz statt des Faktors.
Multiple Choice #2 40s ▶ Testen

Ein MitschĂŒler rechnet fĂŒr eine Kultur mit 500 Zellen und 10 % Wachstum pro Stunde: „Nach 5 Stunden sind es 500 + 5 · 50 = 750.“ Was ist an dieser Rechnung falsch?

  • ● Er addiert jede Stunde 50 statt mit 1,1 zu multiplizieren
  • ○ Er mĂŒsste mit dem Faktor 0,1 statt mit 50 rechnen
  • ○ Er mĂŒsste die 5 Stunden in Minuten umrechnen
50 sind 10 % von 500, aber nur in der ersten Stunde. In der zweiten Stunde sind 10 % schon mehr, denn der Bestand ist grĂ¶ĂŸer. Richtig ist 500 · 1,1⁔ ≈ 805. Die Einheit Stunde ist in Ordnung, nur das Modell ist linear statt exponentiell.
Multiple Choice #3 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt den Zerfall eines Stoffes (t in Stunden). Welcher Term passt dazu?

  • ● 60 · 0,5^(t/2)
  • ○ 60 · 0,5á”—
  • ○ 60 − 15t
Der Startwert ist 60, und der Bestand ist nach 2 Stunden auf 30 halbiert, die Halbwertszeit ist also 2 Stunden: 60 · 0,5^(t/2). Bei 60 · 0,5á”— wĂ€re er schon nach 1 Stunde halbiert, 60 − 15t wĂ€re eine Gerade.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Bestand in den Balken nimmt jĂ€hrlich um 5 % ab. Dann gilt f(t) = 800 · 0,05á”—.

✓ Falsch
Bei einer Abnahme um 5 % bleiben 95 % ĂŒbrig, der Faktor ist 0,95: f(t) = 800 · 0,95á”—. Der Faktor 0,05 gehörte zu einer Abnahme um 95 %.
Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Ein Dorf mit 3 000 Einwohnern wÀchst jÀhrlich um 1,5 %. Welche Gleichung ergibt den Zeitpunkt t, an dem es 4 000 Einwohner hat?

  • ● 3 000 · 1,015á”— = 4 000
  • ○ 3 000 + 1,5 · t = 4 000
  • ○ 3 000 · 1,5á”— = 4 000
Das Modell ist 3 000 · 1,015á”—. FĂŒr 4 000 Einwohner setzt man es gleich 4 000. Bei 3 000 + 1,5 · t ist das Wachstum linear, bei 1,5á”— ist der Faktor 1,5 statt 1,015 gewĂ€hlt (das wĂ€ren 50 % Wachstum).
Wahr / Falsch #6 30s ▶ Testen

Ein Bestand von 100 und ein Bestand von 5 000 wachsen beide um 3 % pro Jahr. Der Bestand von 100 braucht lÀnger, um sich zu verdoppeln.

✓ Falsch
Beide Male gilt b · 1,03á”— = 2b, und b kĂŒrzt sich: 1,03á”— = 2. Die Verdopplungszeit ist fĂŒr beide etwa 23,4 Jahre, sie hĂ€ngt nur vom Faktor ab.
Multiple Choice #7 35s ▶ Testen

Ein Modell 200 · 1,08á”— fĂŒr die Pflanzen auf einer Wiese liefert fĂŒr t = 150 Jahre rund 20 Millionen Pflanzen. Wie bewertest du das Ergebnis?

  • ● Nicht glaubwĂŒrdig: Das Modell gilt nur begrenzt
  • ○ Sicher: Es wurde richtig gerechnet
  • ○ Zu niedrig: Das Wachstum ist eigentlich stĂ€rker
Richtig gerechnet ist noch nicht richtig modelliert. Das Modell nimmt 8 % Wachstum fĂŒr 150 Jahre an, aber die Wiese hat nur begrenzt Platz. Ergebnisse mĂŒssen im Sachzusammenhang geprĂŒft werden.
Wahr / Falsch #8 30s ▶ Testen

Die Kurve zeigt den Fischbestand im Modell 5 000 · 1,04á”—, die gestrichelte Gerade die KapazitĂ€t 30 000 des Sees. Bei t = 55 Jahren liegt das Modell ĂŒber der KapazitĂ€t.

✓ Wahr
Im Bild endet die Kurve bei t = 40 mit etwa 24 000 noch unter der KapazitĂ€t, sie steigt aber immer steiler. Ab t ≈ 45,7 liegt sie ĂŒber der Geraden; bei t = 55 liefert das Modell 5 000 · 1,04⁔⁔ ≈ 43 200 und damit mehr Fische, als der See tragen kann: Dort gilt das Modell nicht mehr.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

FĂŒr die Stadt gilt f(t) = 12 000 · 1,025á”—. Wie viele Einwohner sind es nach 4 Jahren (auf ganze Einwohner gerundet)?

✓ Antwort: 13245.75
f(4) = 12 000 · 1,025⁎ ≈ 12 000 · 1,1038 ≈ 13 246. Die Antwort ist eine Zahl von Menschen und wird auf ganze Einwohner gerundet.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Löse 1,03á”— = 2 (t auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 23.4
t · lg 1,03 = lg 2, also t = lg 2 : lg 1,03 ≈ 0,3010 : 0,01284 ≈ 23,4. Ein Bestand mit 3 % Wachstum pro Jahr verdoppelt sich in etwa 23,4 Jahren.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne 1,04⁔⁰ (auf 0,1 genau). So oft ist der Fischbestand nach 50 Jahren grĂ¶ĂŸer als heute.

✓ Antwort: 7.1
1,04⁔⁰ ≈ 7,1. Nach 50 Jahren hĂ€tte das Modell den Bestand gut versiebenfacht, aus 5 000 wĂŒrden rund 35 500 Fische.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Guthaben von 2 000 € wird mit 3 % pro Jahr verzinst, die Zinsen bleiben stehen. Wie viel € sind es nach 8 Jahren (auf ganze € gerundet)?

✓ Antwort: 2533.54
Faktor 1,03: 2 000 € · 1,03⁞ ≈ 2 000 € · 1,2668 ≈ 2 534 €. Mit einfachem Aufsummieren (8 · 60 € = 480 €) kĂ€me man nur auf 2 480 €.
Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Das Dorf mit 3 000 Einwohnern wÀchst um 1,5 % pro Jahr. Nach wie vielen Jahren sind es 4 000 Einwohner (auf 0,1 Jahre genau)?

✓ Antwort: 19.3
3 000 · 1,015á”— = 4 000 ergibt 1,015á”— = 4/3 und t = lg(4/3) : lg 1,015 ≈ 0,1249 : 0,006466 ≈ 19,3 Jahre.
Zahleneingabe #3 55s ▶ Testen

Ein Medikament wird stĂŒndlich zu 15 % abgebaut, zu Beginn sind 200 mg im Blut. Nach wie vielen Stunden sind nur noch 50 mg da (auf 0,1 Stunden genau)?

✓ Antwort: 8.5
Faktor 0,85: 200 · 0,85á”— = 50, also 0,85á”— = 0,25 und t = lg 0,25 : lg 0,85 ≈ (−0,6021) : (−0,07058) ≈ 8,5 Stunden. Man erwartet mehr als 4 Stunden, weil in jeder Stunde nur 15 % des Restes wegfallen.
Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Der See fasst höchstens 30 000 Fische. Nach wie vielen vollen Jahren ĂŒberschreitet das Modell 5 000 · 1,04á”— diese Grenze erstmals?

✓ Antwort: 46
5 000 · 1,04á”— = 30 000 ergibt 1,04á”— = 6 und t = lg 6 : lg 1,04 ≈ 45,7. Im Jahr 45 sind es noch ca. 29 200, im Jahr 46 schon ca. 30 400. Danach ist das Modell nicht mehr gĂŒltig.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Eine AlgenflĂ€che von 40 mÂČ wĂ€chst tĂ€glich um 15 %. Der See hat eine FlĂ€che von 4 000 mÂČ. Stelle den Funktionsterm auf, berechne, nach wie vielen Tagen 400 mÂČ erreicht sind, und nach wie vielen vollen Tagen die Algen nach dem Modell den ganzen See bedecken. Bewerte, was das Ergebnis fĂŒr die GĂŒltigkeit des Modells bedeutet. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(t) = 40 · 1,15á”— (t in Tagen). 400 mÂČ: 1,15á”— = 10, t = lg 10 : lg 1,15 ≈ 16,5 Tage. 4 000 mÂČ: 1,15á”— = 100, t = lg 100 : lg 1,15 ≈ 32,95, also nach 33 vollen Tagen (f(33) ≈ 4 028 mÂČ). Danach wĂŒrde das Modell mehr FlĂ€che liefern, als der See hat; es gilt nur bis zur KapazitĂ€tsgrenze und muss dann angepasst werden.
Modell 40 · 1,15á”—. FĂŒr 400 mÂČ gilt 1,15á”— = 10, also t ≈ 16,5 Tage, fĂŒr 4 000 mÂČ gilt 1,15á”— = 100, also t ≈ 33 Tage. Dann ist der See voll, das unbegrenzte Wachstum des Modells endet in der Wirklichkeit.