Winkelsumme im Dreieck
Anna misst in zehn gezeichneten Dreiecken Winkelsummen zwischen 179° und 181° und sagt: „Damit ist bewiesen, dass die Winkelsumme immer 180° beträgt.“ Was stimmt?
Erklärung: Messungen gelten nur für die gemessenen Dreiecke und sind nie ganz genau. Abweichungen wie 179° oder 181° sind Messfehler und widerlegen den Satz nicht; bewiesen ist er dadurch aber auch nicht.
Reißt man die Ecken eines Papierdreiecks ab und legt sie nebeneinander, so hat man die Winkelsumme für alle Dreiecke bewiesen.
Erklärung: Das Abreißen zeigt es an einem einzigen Dreieck. Für einen Beweis muss der Grund für jedes Dreieck gelten.
Messen und Abreißen zeigen den Satz nur an einzelnen Dreiecken; erst ein ___ gilt für alle Dreiecke.
Erklärung: Ein Beweis begründet jeden Schritt und gilt damit für jedes Dreieck.
Beim Messen erhält Ben in einem Dreieck die Winkel 81°, 49° und 52°. Um wie viel Grad weicht die Summe von 180° ab?
Erklärung: 81° + 49° + 52° = 182°, die Abweichung beträgt 2°. Das ist ein Messfehler, kein Gegenbeispiel zum Satz.
Für den Beweis der Winkelsumme im Dreieck ABC wird durch C eine Hilfslinie gezeichnet. Welche?
Erklärung: Nur die Parallele zu AB liefert Wechselwinkel: Die Winkel α und β erscheinen bei C wieder. Senkrechte und Winkelhalbierende liefern diese gleich großen Winkel nicht.
Bringe die Schritte des Beweises der Winkelsumme in die richtige Reihenfolge.
Erklärung: Erst die Hilfslinie, dann die Wechselwinkel, dann der gestreckte Winkel bei C, zuletzt das Ergebnis.
Zeichnet man durch C die Parallele zu AB, bilden α und der Winkel bei C links von γ ein Paar von ___winkeln.
Erklärung: α liegt bei A, der gleich große Winkel bei C: An den Parallelen AB und p mit der Schneidenden AC sind das Wechselwinkel.
Im Dreieck ABC ist α = 48° und β = 67°. Durch C ist die Parallele p zu AB gezeichnet. Wie groß sind die drei Winkel bei C an der Geraden p zusammen (in °)?
Erklärung: Die Winkel α′ = 48°, γ und β′ = 67° liegen nebeneinander auf der Geraden p und bilden einen gestreckten Winkel: 180°. Daraus folgt γ = 180° − 48° − 67° = 65°.
Beweise: In jedem Dreieck ABC gilt α + β + γ = 180°. Skizziere ein Dreieck, zeichne die passende Hilfslinie ein, markiere die gleich großen Winkel und begründe jeden Schritt. Nenne dabei, welchen Satz über Parallelen du voraussetzt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Hilfslinie: Parallele zu AB durch C. Wechselwinkel liefern α und β bei C neben γ; ein gestreckter Winkel misst 180°.
Wir beweisen die Winkelsumme im Dreieck aus der Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen. Welche Rolle hat der Winkelsummensatz dabei?
Erklärung: Die Winkelsumme wird über die Wechselwinkel aus dem Stufenwinkelsatz bewiesen, ist also ein abgeleiteter Satz. Vorausgesetzt wird der Stufenwinkelsatz.
In diesem Kurs wird die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen bewiesen, bevor man sie benutzt.
Erklärung: Sie ist der Fundamentalsatz und wird vorausgesetzt. Bewiesen werden erst die Folgerungen daraus, etwa der Satz über Wechselwinkel und die Winkelsumme im Dreieck.
Der Satz über Wechselwinkel folgt aus dem Satz über Stufenwinkel; er ist ein ___ Satz.
Erklärung: Ein abgeleiteter Satz folgt aus schon festgelegten Sätzen. Auch der Winkelsummensatz ist einer.
Aus der Winkelsumme folgt als abgeleiteter Satz: Im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu 90°. Ein spitzer Winkel misst 38°. Wie groß ist der andere (in °)?
Erklärung: 180° − 90° − 38° = 52°, oder direkt mit dem abgeleiteten Satz: 90° − 38° = 52°.
In einem Dreieck sind zwei Winkel 50° und 60° groß. Wie groß ist der dritte?
Erklärung: 180° − 50° − 60° = 70°. 130° wäre 180° − 50° (nur ein Winkel abgezogen), 110° wäre 50° + 60° (Summe statt Ergänzung).
Ein Dreieck kann die Winkel 90°, 60° und 40° haben.
Erklärung: 90° + 60° + 40° = 190° ≠180°. Die Winkel eines Dreiecks ergeben immer 180°.
Zwei Winkel eines Dreiecks sind 35° und 85°. Wie groß ist der dritte (in °)?
Erklärung: γ = 180° − 35° − 85° = 60°.
Ein Dachgiebel hat an der Spitze 100° und links unten 42°. Wie groß ist der Winkel rechts unten (in °)?
Erklärung: 180° − 100° − 42° = 38°.
Im Dreieck sind α = 50° und β = 60°. Wie groß ist γ?
180° − 50° − 60° = 70°.
Im Dreieck sind α = 35° und β = 85°. Wie groß ist γ?
180° − 35° − 85° = 60°.
Im Dreieck sind α = 40° und β = 75°. Wie groß ist γ?
180° − 40° − 75° = 65°.