Winkelsumme im Dreieck
The angle sum in a triangle
Messen und Abreißen machen die Winkelsumme 180° plausibel, beweisen sie aber nicht: Sie gelten für ein Dreieck und nur so genau wie das Werkzeug. Der Beweis zieht durch C die Parallele zu AB; die Wechselwinkel von α und β liegen dann bei C neben γ und bilden mit ihm einen gestreckten Winkel. Die Station macht den Unterschied zwischen Fundamentalsatz und abgeleitetem Satz ausdrücklich und zeigt, wozu eine Hilfslinie dient. Sie räumt aus, ein paar Messungen seien ein Beweis. Bereitet Winkelsummen in Vielecken, die Winkelketten und die Kongruenzsätze vor.
Messen und Abreißen
Zeichne ein Dreieck, miss
Ein Beweis ist es nicht. Gemessen oder abgerissen wurde ein einziges Dreieck, und Messungen sind nie ganz genau. Ein Beweis muss für jedes Dreieck gelten und jeden Schritt begründen. Die Bilder geben aber die Idee: Die Winkel α und β wandern neben γ.
Der Beweis mit einer Hilfslinie
Im Dreieck ABC zeichnen wir durch C die Parallele p zur Seite AB. Diese Hilfslinie steht nicht in der Aufgabe;
sie macht die Argumentation erst möglich. Nun gilt:
Bei C liegen jetzt drei Winkel nebeneinander auf der Geraden p: α, γ und β. Sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel, und der misst 180°:
Grundlage und Folgerung
Wir haben Sätze aufeinander gestapelt. Die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen ist unser Fundamentalsatz: Wir setzen ihn voraus. Daraus folgte der Satz über Wechselwinkel, daraus die Winkelsumme – beides sind abgeleitete Sätze. Man könnte die Reihenfolge auch umkehren und die Winkelsumme als Grundlage nehmen; entscheidend ist, dass jeder Satz nur auf früher festgelegte Sätze zurückgeht.
Jetzt darfst du die Winkelsumme benutzen. Kennst du zwei Winkel, ist der dritte
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Anna misst in zehn gezeichneten Dreiecken Winkelsummen zwischen 179° und 181° und sagt: „Damit ist bewiesen, dass die Winkelsumme immer 180° beträgt.“ Was stimmt?
Reißt man die Ecken eines Papierdreiecks ab und legt sie nebeneinander, so hat man die Winkelsumme für alle Dreiecke bewiesen.
Für den Beweis der Winkelsumme im Dreieck ABC wird durch C eine Hilfslinie gezeichnet. Welche?
Bringe die Schritte des Beweises der Winkelsumme in die richtige Reihenfolge.
Wir beweisen die Winkelsumme im Dreieck aus der Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen. Welche Rolle hat der Winkelsummensatz dabei?
In diesem Kurs wird die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen bewiesen, bevor man sie benutzt.
In einem Dreieck sind zwei Winkel 50° und 60° groß. Wie groß ist der dritte?
Ein Dreieck kann die Winkel 90°, 60° und 40° haben.
Messen und Abreißen zeigen den Satz nur an einzelnen Dreiecken; erst ein ___ gilt für alle Dreiecke.
Zeichnet man durch C die Parallele zu AB, bilden α und der Winkel bei C links von γ ein Paar von ___winkeln.
Der Satz über Wechselwinkel folgt aus dem Satz über Stufenwinkel; er ist ein ___ Satz.
Zwei Winkel eines Dreiecks sind 35° und 85°. Wie groß ist der dritte (in °)?
Beim Messen erhält Ben in einem Dreieck die Winkel 81°, 49° und 52°. Um wie viel Grad weicht die Summe von 180° ab?
Im Dreieck ABC ist α = 48° und β = 67°. Durch C ist die Parallele p zu AB gezeichnet. Wie groß sind die drei Winkel bei C an der Geraden p zusammen (in °)?
Beweise: In jedem Dreieck ABC gilt α + β + γ = 180°. Skizziere ein Dreieck, zeichne die passende Hilfslinie ein, markiere die gleich großen Winkel und begründe jeden Schritt. Nenne dabei, welchen Satz über Parallelen du voraussetzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Aus der Winkelsumme folgt als abgeleiteter Satz: Im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu 90°. Ein spitzer Winkel misst 38°. Wie groß ist der andere (in °)?
Ein Dachgiebel hat an der Spitze 100° und links unten 42°. Wie groß ist der Winkel rechts unten (in °)?