Winkelsumme im Vieleck
Drei Winkel eines Vierecks messen 80°, 95° und 110°. Wie groß ist der vierte?
Erklärung: Die Winkelsumme im Viereck ist 360°: 360° − (80° + 95° + 110°) = 360° − 285° = 75°. Die 285° sind nur die Summe der drei bekannten Winkel, die 105° entstehen aus 285° − 180° (Dreiecks- statt Viereckssumme).
Ein Viereck hat die Winkel 90°, 90°, 60° und 120°.
Erklärung: 90° + 90° + 60° + 120° = 360°. Das passt zur Winkelsumme im Viereck; es ist ein Drachenviereck mit zwei rechten Winkeln.
Wie groß ist die Winkelsumme in jedem Viereck (in °)?
Erklärung: Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke: 2 · 180° = 360°.
Ein Viereck hat die Winkel x, 2x, 3x und 4x. Wie groß ist x (in °)?
Erklärung: x + 2x + 3x + 4x = 10x = 360°, also x = 36°.
Die Diagonalen von einer Ecke aus zerlegen ein Siebeneck in wie viele Dreiecke?
Erklärung: Ein n-Eck zerfällt in n − 2 Dreiecke: 7 − 2 = 5. Sieben Dreiecke entstünden erst, wenn man einen Punkt im Inneren mit allen Ecken verbindet.
Zerlegt man ein Zehneck von einer Ecke aus durch Diagonalen, entstehen 10 Dreiecke.
Erklärung: Es entstehen n − 2 = 8 Dreiecke. Zehn Dreiecke wären n, das sind die Dreiecke zu einem Punkt im Inneren.
Von einer Ecke aus wird ein Zwölfeck durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt. Wie viele Dreiecke sind es?
Erklärung: n − 2 = 12 − 2 = 10 Dreiecke.
Ein Punkt im Inneren eines Fünfecks wird mit allen fünf Ecken verbunden. Es entstehen 5 Dreiecke mit zusammen 900° Winkelsumme, davon liegen 360° um den Innenpunkt. Wie groß ist die Winkelsumme des Fünfecks (in °)?
Erklärung: Nur die Winkel an den Ecken zählen: 900° − 360° = 540°. Das stimmt mit (5 − 2) · 180° = 540° überein.
Erkläre, wie man aus der Winkelsumme im Dreieck auf die Innenwinkelsumme im Siebeneck schließt. Zeichne ein Siebeneck, ziehe alle Diagonalen von einer Ecke aus, zähle die Dreiecke und berechne die Summe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Von einer Ecke aus gehen 4 Diagonalen, sie zerlegen das Siebeneck in 5 Dreiecke: 5 · 180° = 900°.
Wie groß ist die Winkelsumme im Sechseck?
Erklärung: (6 − 2) · 180° = 4 · 180° = 720°. Die 900° ergäben sich mit (n − 1) · 180°, die 1080° mit n · 180°: beide Male wurden zu wenige Dreiecke abgezogen.
Die Innenwinkelsumme im Achteck beträgt 1080°.
Erklärung: (8 − 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°.
Berechne die Winkelsumme im Zehneck (in °).
Erklärung: (10 − 2) · 180° = 8 · 180° = 1440°.
Ein Sechseck hat fünf Winkel: 130°, 110°, 120°, 140° und 100°. Wie groß ist der sechste (in °)?
Erklärung: Die Winkelsumme im Sechseck ist 720°. Die fünf bekannten Winkel ergeben 600°, also fehlen 720° − 600° = 120°.
Wie groß ist jeder Innenwinkel im regelmäßigen Sechseck?
Erklärung: 720° : 6 = 120°. Die 60° sind der Winkel am Mittelpunkt (360° : 6), die 720° die ganze Winkelsumme.
Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks misst 120°.
Erklärung: (8 − 2) · 180° : 8 = 1080° : 8 = 135°. Die 120° gehören zum regelmäßigen Sechseck.
Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Fünfeck (in °)?
Erklärung: (5 − 2) · 180° : 5 = 540° : 5 = 108°.
Ein Pflasterstein hat die Form eines regelmäßigen Zwölfecks. Wie groß ist ein Innenwinkel (in °)?
Erklärung: (12 − 2) · 180° : 12 = 1800° : 12 = 150°.