Das Heron-Verfahren
FĂźr â10 startet man mit xâ = 3. Wie berechnet man xâ?
Erklärung: Der Schritt bildet den Mittelwert von xâ und a : xâ: xâ = (3 + 10 : 3) : 2 â 3,167. (3 + 10) : 2 addiert a statt a : xâ; 10 : 3 ist nur die zweite Rechteckseite.
Das Rechteck hat den Flächeninhalt 2. Der Heron-Schritt ersetzt die Seite 1 durch den Mittelwert der beiden Seiten. Wie lang wird sie?
Erklärung: Der Mittelwert von 1 und 2 ist (1 + 2) : 2 = 1,5. 3 wäre die Summe der Seiten, 2 die andere Seite selbst.
Der nächste Heron-Schritt macht aus dem Rechteck die neue Seite 6,5.
Erklärung: Die Seiten sind 4 und 9, der Mittelwert ist (4 + 9) : 2 = 6,5. Die andere Seite wird dann 36 : 6,5 â 5,54, das Rechteck ist quadratischer.
FĂźr â8 mit xâ = 4 gilt xâ = (4 + 8) : 2 = 6.
Erklärung: Es muss a : xâ = 8 : 4 = 2 gemittelt werden, nicht a = 8: xâ = (4 + 2) : 2 = 3. Probe: 3² = 9, nah an 8; 6² = 36 wäre weit weg.
Berechne xâ fĂźr â5 mit dem Startwert xâ = 2.
Erklärung: 5 : 2 = 2,5; der Mittelwert von 2 und 2,5 ist (2 + 2,5) : 2 = 2,25. (Es ist â5 â 2,236.)
Bestimme xâ fĂźr â7 mit xâ = 3 auf 3 Nachkommastellen.
Erklärung: 7 : 3 = 2,3333âŚ; (3 + 2,3333) : 2 = 2,6667. Gerundet 2,667 (â7 â 2,646).
FĂźr â2 ist xâ = 1 und 2 : xâ = 2. Was gilt fĂźr â2?
Erklärung: Eine der beiden Seiten ist zu klein, eine zu groĂ: 1² = 1 < 2 und 2² = 4 > 2. Also liegt â2 zwischen 1 und 2.
FĂźr a = 10 ist x = 4 zu groĂ (4² = 16 > 10). Dann ist auch 10 : 4 = 2,5 zu groĂ.
Erklärung: Ist x grĂśĂer als âa, muss a : x kleiner sein, denn das Produkt beider Seiten ist a. Auch 2,5² = 6,25 < 10: 2,5 ist zu klein.
Das Rechteck hat den Flächeninhalt 36. Zwischen welchen Zahlen liegt die Seite des flächengleichen Quadrats?
Erklärung: Das Quadrat hat die Seite â36 = 6. Sie liegt zwischen den beiden Rechteckseiten 3 und 12: 3 ist zu klein, 12 zu groĂ.
FĂźr â20 ist x = 5. Wie groĂ ist die zweite Rechteckseite 20 : x?
Erklärung: 20 : 5 = 4. Weil 5 zu groĂ und 4 zu klein ist, liegt â20 â 4,47 zwischen 4 und 5.
Mit x = 7 und 50 : 7 â 7,14 gilt: â50 ist hĂśchstens 7,15.
Erklärung: 7² = 49 < 50 und 7,14² â 51 > 50: â50 liegt zwischen 7 und 7,15 (genauer: â50 â 7,07).
FĂźr â2 ist xâ = 1,5. Wie berechnet man xâ?
Erklärung: Das Ergebnis wird zum neuen Startwert: xâ = (1,5 + 2 : 1,5) : 2 â 1,4167. Wer wieder mit 1 rechnet, kommt nicht weiter; ohne die Halbierung entstĂźnde 2,83.
Man kann das Heron-Verfahren mit jedem positiven Startwert beginnen.
Erklärung: Auch ein schlechter Startwert wird von Schritt zu Schritt besser, z. B. fĂźr â2 mit xâ = 10: 10; 5,1; 2,75; 1,74; 1,44; âŚ
Nach einem Heron-Schritt ist die Näherung exakt.
Erklärung: Bei â2 ergibt xâ = 1,5 und 1,5² = 2,25. Erst wiederholte Schritte nähern sich â2 beliebig genau an; deshalb heiĂt das Verfahren iterativ.
FĂźr â2 ist xâ = 1,5. Berechne xâ auf 4 Nachkommastellen.
Erklärung: 2 : 1,5 = 1,3333; (1,5 + 1,3333) : 2 = 1,4167.
FĂźr â9 startet man mit xâ = 1. Berechne xâ.
Erklärung: xâ = (1 + 9 : 1) : 2 = 5; xâ = (5 + 9 : 5) : 2 = (5 + 1,8) : 2 = 3,4. Die Näherung geht auf â9 = 3 zu.
Bestimme â5 mit dem Startwert xâ = 2 durch zwei Heron-Schritte. Zeichne das Rechteck fĂźr xâ und xâ, gib jeweils die zweite Seite an und begrĂźnde, dass â5 zwischen den beiden Seiten liegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jeder Schritt bildet den Mittelwert der beiden Seiten; die Wurzel liegt immer zwischen den Seiten, und der Abstand schrumpft schnell: 2,5 â 2 = 0,5, dann 2,25 â 2,2222 â 0,03.