Das Heron-Verfahren

The Heron method

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben

QuadratwurzelnAlgorithmenIterationHeron-Verfahren

Das Heron-Verfahren nähert √a durch Rechtecke vom Flächeninhalt a an, die sich einem Quadrat annähern: Aus x wird der Mittelwert von x und a : x, x₁ = (x₀ + a : x₀) : 2, und die Vorschrift wird immer wieder auf das letzte Ergebnis angewendet. Eine der beiden Seiten ist immer zu klein, die andere zu groß, also liegt √a dazwischen; die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich etwa je Schritt. Räumt aus, dass man a statt a : x mittelt oder nach einem Schritt fertig ist. Bereitet das Newton-Verfahren und Tabellenkalkulation vor.

Vom Rechteck zum Quadrat

Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a hat die Seite √a. Das Heron-Verfahren startet mit irgendeinem Rechteck vom Flächeninhalt a, für a = 2 zum Beispiel mit den Seiten x₀ = 1 und 2 : 1 = 2. Nun ersetzt man die Seite x durch den Mittelwert beider Seiten: x₁ = (1 + 2) : 2 = 1,5. Die andere Seite ist dann 2 : 1,5 = 1,3333. Das Rechteck wird quadratischer, und sein Flächeninhalt bleibt 2.

Erhöhe den Schritt n. Welchem Quadrat nähert sich das Rechteck?

Der Algorithmus

Als Formel: $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x _{n}})$ Dieselbe Vorschrift wird immer wieder auf das letzte Ergebnis angewendet – ein iteratives Verfahren. In einer Tabellenkalkulation genügt für a = 2 die Formel =(A2+2/A2)/2, nach unten gezogen. Das Ergebnis eines Schritts ist immer der Startwert des nächsten. Jeder positive Startwert funktioniert; ein schlechter kostet nur ein paar Schritte mehr.

n	xₙ	2 : xₙ
0	1	2
1	1,5	1,333333
2	1,416667	1,411765
3	1,414216	1,414211

Wie gut ist die Näherung?

Von den beiden Seiten xₙ und a : xₙ ist immer eine zu groß und eine zu klein, denn ihr Produkt ist a. Also liegt $a$ dazwischen: bei n = 3 ist 1,414211 < √2 < 1,414216. Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich etwa mit jedem Schritt: 1, 3, 6 Stellen bei x₁, x₂, x₃. Der Abstand der beiden Seiten zeigt, wie genau die Näherung ist: bei n = 1 liegt √2 zwischen 1,333333 und 1,5, bei n = 2 schon zwischen 1,411765 und 1,416667.

Die Näherungen x₀, x₁, x₂ nähern sich √2 (Vergrößerung unten).

Voraussetzungen (1)

Wurzeln abschätzen

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für √10 startet man mit x₀ = 3. Wie berechnet man x₁?

● (3 + 10 : 3) : 2
○ (3 + 10) : 2
○ 10 : 3

Der Schritt bildet den Mittelwert von x₀ und a : x₀: x₁ = (3 + 10 : 3) : 2 ≈ 3,167. (3 + 10) : 2 addiert a statt a : x₀; 10 : 3 ist nur die zweite Rechteckseite.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Das Rechteck hat den Flächeninhalt 2. Der Heron-Schritt ersetzt die Seite 1 durch den Mittelwert der beiden Seiten. Wie lang wird sie?

● 1,5
○ 2
○ 3

Der Mittelwert von 1 und 2 ist (1 + 2) : 2 = 1,5. 3 wäre die Summe der Seiten, 2 die andere Seite selbst.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der nächste Heron-Schritt macht aus dem Rechteck die neue Seite 6,5.

✓ Wahr

Die Seiten sind 4 und 9, der Mittelwert ist (4 + 9) : 2 = 6,5. Die andere Seite wird dann 36 : 6,5 ≈ 5,54, das Rechteck ist quadratischer.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für √8 mit x₀ = 4 gilt x₁ = (4 + 8) : 2 = 6.

✓ Falsch

Es muss a : x₀ = 8 : 4 = 2 gemittelt werden, nicht a = 8: x₁ = (4 + 2) : 2 = 3. Probe: 3² = 9, nah an 8; 6² = 36 wäre weit weg.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für √2 ist x₀ = 1 und 2 : x₀ = 2. Was gilt für √2?

● 1 < √2 < 2
○ √2 > 2
○ √2 < 1

Eine der beiden Seiten ist zu klein, eine zu groß: 1² = 1 < 2 und 2² = 4 > 2. Also liegt √2 zwischen 1 und 2.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für a = 10 ist x = 4 zu groß (4² = 16 > 10). Dann ist auch 10 : 4 = 2,5 zu groß.

✓ Falsch

Ist x größer als √a, muss a : x kleiner sein, denn das Produkt beider Seiten ist a. Auch 2,5² = 6,25 < 10: 2,5 ist zu klein.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Das Rechteck hat den Flächeninhalt 36. Zwischen welchen Zahlen liegt die Seite des flächengleichen Quadrats?

● 3 und 12
○ 12 und 36
○ 0 und 3

Das Quadrat hat die Seite √36 = 6. Sie liegt zwischen den beiden Rechteckseiten 3 und 12: 3 ist zu klein, 12 zu groß.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Für √2 ist x₁ = 1,5. Wie berechnet man x₂?

● (1,5 + 2 : 1,5) : 2
○ (1 + 2 : 1) : 2
○ 1,5 + 2 : 1,5

Das Ergebnis wird zum neuen Startwert: x₂ = (1,5 + 2 : 1,5) : 2 ≈ 1,4167. Wer wieder mit 1 rechnet, kommt nicht weiter; ohne die Halbierung entstünde 2,83.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Man kann das Heron-Verfahren mit jedem positiven Startwert beginnen.

✓ Wahr

Auch ein schlechter Startwert wird von Schritt zu Schritt besser, z. B. für √2 mit x₀ = 10: 10; 5,1; 2,75; 1,74; 1,44; …

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Nach einem Heron-Schritt ist die Näherung exakt.

✓ Falsch

Bei √2 ergibt x₁ = 1,5 und 1,5² = 2,25. Erst wiederholte Schritte nähern sich √2 beliebig genau an; deshalb heißt das Verfahren iterativ.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne x₁ für √5 mit dem Startwert x₀ = 2.

✓ Antwort: 2.25

5 : 2 = 2,5; der Mittelwert von 2 und 2,5 ist (2 + 2,5) : 2 = 2,25. (Es ist √5 ≈ 2,236.)

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für √20 ist x = 5. Wie groß ist die zweite Rechteckseite 20 : x?

✓ Antwort: 4

20 : 5 = 4. Weil 5 zu groß und 4 zu klein ist, liegt √20 ≈ 4,47 zwischen 4 und 5.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Für √2 ist x₁ = 1,5. Berechne x₂ auf 4 Nachkommastellen.

✓ Antwort: 1.4167

2 : 1,5 = 1,3333; (1,5 + 1,3333) : 2 = 1,4167.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Bestimme x₁ für √7 mit x₀ = 3 auf 3 Nachkommastellen.

✓ Antwort: 2.667

7 : 3 = 2,3333…; (3 + 2,3333) : 2 = 2,6667. Gerundet 2,667 (√7 ≈ 2,646).

Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Mit x = 7 und 50 : 7 ≈ 7,14 gilt: √50 ist höchstens 7,15.

✓ Wahr

7² = 49 < 50 und 7,14² ≈ 51 > 50: √50 liegt zwischen 7 und 7,15 (genauer: √50 ≈ 7,07).

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für √9 startet man mit x₀ = 1. Berechne x₂.

✓ Antwort: 3.4

x₁ = (1 + 9 : 1) : 2 = 5; x₂ = (5 + 9 : 5) : 2 = (5 + 1,8) : 2 = 3,4. Die Näherung geht auf √9 = 3 zu.

KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Bestimme √5 mit dem Startwert x₀ = 2 durch zwei Heron-Schritte. Zeichne das Rechteck für x₀ und x₁, gib jeweils die zweite Seite an und begründe, dass √5 zwischen den beiden Seiten liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x₀ = 2, zweite Seite 5 : 2 = 2,5; x₁ = (2 + 2,5) : 2 = 2,25, zweite Seite 5 : 2,25 ≈ 2,2222; x₂ = (2,25 + 2,2222) : 2 ≈ 2,2361. √5 liegt jeweils zwischen den beiden Seiten (2 < √5 < 2,5; 2,2222 < √5 < 2,25). √5 ≈ 2,2361.

Jeder Schritt bildet den Mittelwert der beiden Seiten; die Wurzel liegt immer zwischen den Seiten, und der Abstand schrumpft schnell: 2,5 − 2 = 0,5, dann 2,25 − 2,2222 ≈ 0,03.