Warum √2 kein Bruch ist
Wie beginnt der indirekte Beweis dafür, dass √2 kein Bruch ist?
Erklärung: Der indirekte Beweis nimmt das Gegenteil der Behauptung an: √2 = p/q. Aus dieser Annahme wird ein Widerspruch hergeleitet. Viele Dezimalstellen zu berechnen prüft nur, beweist aber nichts.
Angenommen, N wäre die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 auch natürlich und größer als N. Was zeigt das?
Erklärung: Die Annahme „N ist die größte“ führt zum Widerspruch „N + 1 ist größer“. Ein Widerspruch kann nicht wahr sein, also war die Annahme falsch. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Der Taschenrechner zeigt 1,41421356… ohne Wiederholung. Damit ist bewiesen, dass √2 irrational ist.
Erklärung: Ein Taschenrechner zeigt nur endlich viele Stellen; ein Muster, das erst später kommt, wäre unsichtbar. Nur ein Beweis zeigt, dass √2 kein Bruch ist.
Man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus etwas Unmögliches her. Diese Beweisart heißt Beweis durch ___.
Erklärung: Man beweist die Behauptung nicht direkt, sondern über den Umweg des Gegenteils: Führt die Annahme zu einem Widerspruch, war sie falsch. Diese Beweisart heißt indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch.
Der Schluss „Angenommen N ist die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 größer. Widerspruch. Also gibt es keine größte natürliche Zahl“ ist ein gültiger indirekter Beweis.
Erklärung: Annahme: das Gegenteil der Behauptung. Folgerung: N + 1 ist größer als N. Das widerspricht der Annahme, also ist sie falsch – genau der Aufbau eines indirekten Beweises.
Für welche Zahl p ist das Quadrat p² eine gerade Zahl?
Erklärung: 14 ist gerade, also ist 14² = 196 gerade. 15² = 225 und 9² = 81 sind ungerade, denn ungerade mal ungerade ist ungerade.
Für die natürliche Zahl p gilt p² = 144. Was gilt dann für p?
Erklärung: p = 12 ist gerade. Allgemein: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade; ist p² gerade, muss p gerade sein.
Das Quadrat besteht aus 5 · 5 Kästchen. Wie viele Kästchen sind es?
Erklärung: 5 · 5 = 25. Ungerade mal ungerade ist ungerade – deshalb hat ein Quadrat mit ungerader Seite immer eine ungerade Kästchenzahl.
Für jede ungerade Zahl p ist auch p² ungerade.
Erklärung: Für p = 2m + 1 ist p² = 4m² + 4m + 1 = 2 · (2m² + 2m) + 1, also ungerade. Beispiele: 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49.
Für p = 2k gilt p² = c · k². Wie groß ist c?
Erklärung: (2k)² = 2k · 2k = 4k². Der Faktor 2 wird mit quadriert, nicht nur k.
Wie viele der Quadrate 1², 2², …, 10² sind gerade?
Erklärung: Gerade sind 2², 4², 6², 8², 10² (also 4, 16, 36, 64, 100) – genau die Quadrate der geraden Zahlen. Es sind 5.
Am Ende des Beweises sind p und q beide gerade. Was ist der Widerspruch?
Erklärung: Zwei gerade Zahlen haben den gemeinsamen Teiler 2, der Bruch wäre nicht gekürzt. Das widerspricht der Annahme „p/q ist gekürzt“. Die Gleichung p² = 2q² wurde dabei gar nicht angezweifelt.
Aus p² = 2q² folgt mit p = 2k die Gleichung …
Erklärung: (2k)² = 4k², also 4k² = 2q² und damit q² = 2k². Wer 2k² schreibt, hat den Faktor 2 nicht mit quadriert.
Im Bild hat das große Quadrat die Seite 7, die beiden kleineren haben je die Seite 5. Es gilt 7/5 = √2.
Erklärung: 7² = 49, aber 2 · 5² = 50. Der Unterschied ist klein, aber nicht null; deshalb ist (7/5)² = 1,96 nicht 2 und 7/5 nicht √2.
Das gekippte Quadrat hat die Seitenlänge x. Was gilt für x²?
Erklärung: Das gekippte Quadrat besteht aus 4 halben Einheitsquadraten: Fläche 2 cm². Seine Seite ist also x = √2 cm.
Berechne p² − 2q² für p = 17 und q = 12.
Erklärung: 17² = 289 und 2 · 12² = 288, also 289 − 288 = 1. Wäre 17/12 gleich √2, müsste 0 herauskommen; es ist nur sehr nah.
Aus 4k² = 2q² folgt q² = c · k². Wie groß ist c?
Erklärung: Beide Seiten durch 2 geteilt: 2k² = q². Also ist q² gerade und damit q gerade – der Widerspruch ist da.
Beweise indirekt, dass √2 kein Bruch ist. Beginne mit der Annahme, führe die Schritte vollständig aus und begründe jeden Schritt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Beweis läuft in vier Schritten: p² = 2q²; p gerade (p = 2k); q² = 2k², also q gerade; Widerspruch zur Annahme, dass p/q gekürzt ist.