Warum √2 kein Bruch ist

Why √2 is not a fraction

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
Irrationale ZahlenBeweis

Das Quadrat über der Diagonale des Einheitsquadrats hat den Flächeninhalt 2, seine Seite ist √2 – aber kein Bruch p/q trifft sie genau. Die Station führt das Prinzip des indirekten Beweises ein (das Gegenteil annehmen, einen Widerspruch herleiten) und vollzieht den Beweis in vier Schritten: p² = 2q², p gerade, q gerade, Widerspruch zur gekürzten Form. Räumt aus, dass viele Dezimalstellen etwas beweisen, und dass ein Widerspruch die Annahme bestätigt. Bereitet die Erweiterung der rationalen zu den reellen Zahlen und spätere Beweise im Jahrgang vor.

Das Quadrat mit Fläche 2

Ein Quadrat mit Seite 1 hat eine Diagonale. Das Quadrat über dieser Diagonale besteht aus vier halben Einheitsquadraten und hat den Flächeninhalt 2; seine Seite ist also . Ist ein Bruch p/q aus ganzen Zahlen? Die Brüche 7/5 und 99/70 kommen sehr nah heran: (7/5)² = 1,96 und (99/70)² ≈ 2,0002. Treffen sie? Weder Näherungen noch Taschenrechnerziffern klären das. Man braucht einen Beweis: eine Überlegung, die für jeden Bruch p/q auf einmal zeigt, dass er nicht passt.

Das gekippte Quadrat besteht aus vier halben Einheitsquadraten. Wie groß ist seine Fläche, wie lang seine Seite?

Beweis durch Widerspruch

Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her. Ein Widerspruch kann nicht wahr sein, also war die Annahme falsch, und die Behauptung stimmt. Ein Beispiel: Angenommen, N wäre die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 noch größer, ein Widerspruch – es gibt also keine größte Zahl. Behauptung: √2 ist kein Bruch. Annahme: Doch, mit ganzen Zahlen p und q – und der Bruch ist gekürzt, p und q haben also keinen gemeinsamen Teiler.

Der Beweis in vier Schritten

  1. Quadrieren: , also . Damit ist p² gerade.
  2. Ist p² gerade, dann ist p gerade, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Also und .
  3. Einsetzen: , also . Damit ist q² gerade, und wie in Schritt 2 auch q.
  4. p und q sind beide gerade – der Bruch ließe sich mit 2 kürzen. Das ist ein Widerspruch zu „gekürzt“.

Also gibt es kein solches p/q: ist irrational.

Suche p und q, bei denen das große Quadrat so viel Fläche hat wie die beiden kleinen. Wird die Differenz je null?

Voraussetzungen (1)

Wurzel als Quadratseite
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Reelle Zahlen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie beginnt der indirekte Beweis dafür, dass √2 kein Bruch ist?

  • ● Man nimmt an, √2 sei doch ein Bruch p/q
  • ○ Man berechnet viele Dezimalstellen von √2
  • ○ Man nimmt an, √2 sei eine ganze Zahl
Der indirekte Beweis nimmt das Gegenteil der Behauptung an: √2 = p/q. Aus dieser Annahme wird ein Widerspruch hergeleitet. Viele Dezimalstellen zu berechnen prüft nur, beweist aber nichts.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Angenommen, N wäre die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 auch natürlich und größer als N. Was zeigt das?

  • ● Die Annahme ist falsch: Es gibt keine größte natürliche Zahl
  • ○ N + 1 ist die größte natürliche Zahl
  • ○ N war nur zu klein gewählt
Die Annahme „N ist die größte“ führt zum Widerspruch „N + 1 ist größer“. Ein Widerspruch kann nicht wahr sein, also war die Annahme falsch. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Taschenrechner zeigt 1,41421356… ohne Wiederholung. Damit ist bewiesen, dass √2 irrational ist.

✓ Falsch
Ein Taschenrechner zeigt nur endlich viele Stellen; ein Muster, das erst später kommt, wäre unsichtbar. Nur ein Beweis zeigt, dass √2 kein Bruch ist.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für welche Zahl p ist das Quadrat p² eine gerade Zahl?

  • ● 14
  • ○ 15
  • ○ 9
14 ist gerade, also ist 14² = 196 gerade. 15² = 225 und 9² = 81 sind ungerade, denn ungerade mal ungerade ist ungerade.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für die natürliche Zahl p gilt p² = 144. Was gilt dann für p?

  • ● p ist gerade
  • ○ p ist ungerade
  • ○ Man kann nicht sagen, ob p gerade ist
p = 12 ist gerade. Allgemein: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade; ist p² gerade, muss p gerade sein.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Quadrat besteht aus 5 · 5 Kästchen. Wie viele Kästchen sind es?

  • ● 25, eine ungerade Zahl
  • ○ 25, eine gerade Zahl
  • ○ 10, eine gerade Zahl
5 · 5 = 25. Ungerade mal ungerade ist ungerade – deshalb hat ein Quadrat mit ungerader Seite immer eine ungerade Kästchenzahl.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für jede ungerade Zahl p ist auch p² ungerade.

✓ Wahr
Für p = 2m + 1 ist p² = 4m² + 4m + 1 = 2 · (2m² + 2m) + 1, also ungerade. Beispiele: 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Am Ende des Beweises sind p und q beide gerade. Was ist der Widerspruch?

  • ● Der Bruch p/q sollte gekürzt sein
  • ○ Die Gleichung p² = 2q² stimmt nicht
  • ○ Dann ist √2 eine ganze Zahl
Zwei gerade Zahlen haben den gemeinsamen Teiler 2, der Bruch wäre nicht gekürzt. Das widerspricht der Annahme „p/q ist gekürzt“. Die Gleichung p² = 2q² wurde dabei gar nicht angezweifelt.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Aus p² = 2q² folgt mit p = 2k die Gleichung …

  • ● 4k² = 2q²
  • ○ 2k² = 2q²
  • ○ 2k = 2q²
(2k)² = 4k², also 4k² = 2q² und damit q² = 2k². Wer 2k² schreibt, hat den Faktor 2 nicht mit quadriert.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Im Bild hat das große Quadrat die Seite 7, die beiden kleineren haben je die Seite 5. Es gilt 7/5 = √2.

✓ Falsch
7² = 49, aber 2 · 5² = 50. Der Unterschied ist klein, aber nicht null; deshalb ist (7/5)² = 1,96 nicht 2 und 7/5 nicht √2.
Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Das gekippte Quadrat hat die Seitenlänge x. Was gilt für x²?

  • ● x² = 2
  • ○ x² = 1
  • ○ x² = 4
Das gekippte Quadrat besteht aus 4 halben Einheitsquadraten: Fläche 2 cm². Seine Seite ist also x = √2 cm.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus etwas Unmögliches her. Diese Beweisart heißt Beweis durch ___.

✓ Antwort: Widerspruch
Man beweist die Behauptung nicht direkt, sondern über den Umweg des Gegenteils: Führt die Annahme zu einem Widerspruch, war sie falsch. Diese Beweisart heißt indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für p = 2k gilt p² = c · k². Wie groß ist c?

✓ Antwort: 4
(2k)² = 2k · 2k = 4k². Der Faktor 2 wird mit quadriert, nicht nur k.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne p² − 2q² für p = 17 und q = 12.

✓ Antwort: 1
17² = 289 und 2 · 12² = 288, also 289 − 288 = 1. Wäre 17/12 gleich √2, müsste 0 herauskommen; es ist nur sehr nah.
Schwer
Wahr / Falsch #1 30s ▶ Testen

Der Schluss „Angenommen N ist die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 größer. Widerspruch. Also gibt es keine größte natürliche Zahl“ ist ein gültiger indirekter Beweis.

✓ Wahr
Annahme: das Gegenteil der Behauptung. Folgerung: N + 1 ist größer als N. Das widerspricht der Annahme, also ist sie falsch – genau der Aufbau eines indirekten Beweises.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele der Quadrate 1², 2², …, 10² sind gerade?

✓ Antwort: 5
Gerade sind 2², 4², 6², 8², 10² (also 4, 16, 36, 64, 100) – genau die Quadrate der geraden Zahlen. Es sind 5.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Aus 4k² = 2q² folgt q² = c · k². Wie groß ist c?

✓ Antwort: 2
Beide Seiten durch 2 geteilt: 2k² = q². Also ist q² gerade und damit q gerade – der Widerspruch ist da.
KI-bewertete Rechnung #4 360s ▶ Testen

Beweise indirekt, dass √2 kein Bruch ist. Beginne mit der Annahme, führe die Schritte vollständig aus und begründe jeden Schritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Annahme: √2 = p/q mit ganzen p, q und p/q gekürzt. Quadrieren: 2 = p²/q², also p² = 2q². Dann ist p² gerade, also ist p gerade (das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade): p = 2k. Einsetzen: 4k² = 2q², also q² = 2k², damit ist q² gerade und auch q gerade. Also sind p und q beide gerade – Widerspruch zu „gekürzt“. Also ist √2 kein Bruch.
Der Beweis läuft in vier Schritten: p² = 2q²; p gerade (p = 2k); q² = 2k², also q gerade; Widerspruch zur Annahme, dass p/q gekürzt ist.