Reelle Zahlen
Welche Zahlenmenge ist die kleinste, die die Zahl â3 enthĂ€lt?
ErklĂ€rung: â3 ist nicht natĂŒrlich (â), aber ganz: †ist die kleinste passende Menge. Auch â und â enthalten â3, sind aber gröĂer.
Welche dieser Zahlen liegt in â, aber nicht in â€?
ErklĂ€rung: 0,75 = 3/4 ist ein Bruch, aber keine ganze Zahl. â16 = 4 sieht irrational aus, ist aber ganz; â4 ist ganz.
Welcher Punkt im Bild stellt die Zahl â3 dar?
ErklĂ€rung: â3 ist ganz, aber nicht natĂŒrlich: Sie liegt im Ring von †auĂerhalb von â â Punkt A. B liegt in â, C im Ring der BrĂŒche.
â16 ist eine irrationale Zahl.
ErklĂ€rung: â16 = 4, denn 4 · 4 = 16. Damit ist â16 eine natĂŒrliche, also auch rationale Zahl. Eine Wurzel aus einer natĂŒrlichen Zahl ist nur dann irrational, wenn der Radikand keine Quadratzahl ist, wie bei â2.
Wie viele der Zahlen â2; 0; 2,5; â2; 3 liegen in â€?
ErklĂ€rung: â2, 0 und 3 sind ganze Zahlen. 2,5 = 5/2 ist ein Bruch, â2 irrational.
Wie viele der Zahlen 4; â7; 0,2; â9; â5; Ï sind rational?
ErklĂ€rung: 4, â7, 0,2 = 1/5 und â9 = 3 sind rational. â5 und Ï sind irrational.
Welche dieser Dezimalzahlen stellt eine rationale Zahl dar?
ErklĂ€rung: Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie abbricht oder sich eine Periode wiederholt: 0,2727⊠= 3/11. Bei 0,1010010001⊠wĂ€chst die Nullfolge, Ï hat keine Periode: beide sind irrational.
0,333⊠ist irrational, weil die Ziffern nie enden.
ErklĂ€rung: Nie endende Ziffern genĂŒgen nicht: 0,333⊠= 1/3 hat die Periode 3 und ist rational. Irrational sind Dezimalzahlen ohne Periode.
0,123456789101112131415⊠(alle natĂŒrlichen Zahlen hintereinander, ohne Periode) ist irrational.
ErklÀrung: Die Ziffernfolge endet nie und wiederholt sich nie in einer Periode. Eine solche Dezimalzahl kann kein Bruch sein, also ist sie irrational.
Wie viele Ziffern hat die Periode von 1/7 = 0,142857142857�
ErklÀrung: Die Ziffern 1-4-2-8-5-7 wiederholen sich: PeriodenlÀnge 6.
Welche Ziffer steht bei 0,272727⊠an der 100. Nachkommastelle?
ErklÀrung: Die ungeraden Stellen sind 2, die geraden 7. Die 100. Stelle ist gerade, also steht dort 7.
Der Zirkelbogen mit der Diagonale des Einheitsquadrats als Radius trifft die Zahlengerade im Punkt P. Welche Zahl gehört zu P?
ErklĂ€rung: Die Diagonale hat die LĂ€nge â2 (das Quadrat ĂŒber ihr hat den FlĂ€cheninhalt 2). P liegt bei â2 â 1,414 â nicht genau bei 1,4 und nicht bei 2.
Es gilt 1,414ÂČ = 1,999396 und 1,415ÂČ = 2,002225. Welcher Punkt gehört zu â2?
ErklĂ€rung: â2 liegt zwischen 1,414 und 1,415, also bei 1,414⊠â das ist Punkt B. A (1,412) und C (1,418) liegen auĂerhalb dieser Schranken.
Zwischen zwei BrĂŒchen liegt immer ein weiterer Bruch. Deshalb hat die Zahlengerade aus lauter BrĂŒchen keine LĂŒcken.
ErklĂ€rung: Dicht heiĂt nicht lĂŒckenlos: Der Punkt â2 gehört zu keinem Bruch, obwohl BrĂŒche beliebig nah heranreichen. Erst die reellen Zahlen fĂŒllen alle LĂŒcken.
Zu jedem Punkt der Zahlengeraden gehört genau eine reelle Zahl.
ErklĂ€rung: Das ist die Eigenschaft der reellen Zahlen: Zahlengerade und â entsprechen sich Punkt fĂŒr Zahl, ohne LĂŒcke.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung xÂČ = 2 in der Menge â der BrĂŒche?
ErklĂ€rung: Nach dem Beweis gibt es keinen Bruch, dessen Quadrat 2 ist. In â wĂ€ren es zwei Lösungen, â2 und ââ2, in â keine.
Wie viele der Zahlen 0,5; 1/3; â3; Ï; 0 entsprechen einem Punkt auf der Zahlengeraden?
ErklĂ€rung: Jede reelle Zahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden, egal ob rational oder irrational. Alle fĂŒnf Zahlen sind reell: 5 Punkte.
Ordne die Zahlen â4; 2/3; â49; 0,25; â2 jeweils der kleinsten der Mengen â, â€, â, â zu. BegrĂŒnde jede Zuordnung mit einer kurzen Rechnung oder einem Argument.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: â49 sieht wie eine Wurzel aus, ist aber 7 und damit natĂŒrlich; 0,25 bricht ab und ist 1/4. Nur â2 ist irrational und liegt erst in â.