Reelle Zahlen

Real numbers

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
Irrationale ZahlenReelle ZahlenZahlenstrahl

Jede Zahlbereichserweiterung löst eine Gleichung, die vorher unlösbar war: x + 5 = 2 verlangt â„€, 3x = 2 verlangt ℚ, xÂČ = 2 verlangt ℝ. Rationale Zahlen haben abbrechende oder periodische DezimalbrĂŒche, irrationale wie √2 und π keine Periode; erst die reellen Zahlen fĂŒllen die Zahlengerade lĂŒckenlos. RĂ€umt aus, dass jede Wurzel irrational, jede unendliche Dezimalzahl irrational und π gleich 22/7 sei, und dass „dicht“ „lĂŒckenlos“ heiße. Bereitet Funktionen auf ℝ, Intervalle und die Grenzwerte spĂ€terer JahrgĂ€nge vor.

Wozu neue Zahlen?

Jede Erweiterung des Zahlbereichs löst eine Gleichung, die vorher unlösbar war. hat in ℕ keine Lösung, dafĂŒr gibt es â„€. hat in â„€ keine, dafĂŒr gibt es ℚ mit . Und hat in ℚ keine Lösung, das zeigte der Beweis; dafĂŒr braucht man die reellen Zahlen ℝ. Die Mengen liegen ineinander: ℕ ⊂ â„€ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Reelle Zahlen, die keine BrĂŒche sind, heißen irrational.

Ineinander liegende Zahlenmengen: die natĂŒrlichen Zahlen in den ganzen Zahlen, diese in den rationalen Zahlen, diese in den reellen Zahlen ℝ ℚ â„€ ℕ irrational
Die Zahlenmengen liegen ineinander; der Ă€ußere Ring von ℝ enthĂ€lt die irrationalen Zahlen.

Rational oder irrational?

Am Dezimalbruch erkennt man rationale Zahlen: Er bricht ab (0,75) oder wiederholt sich in einer Periode (1/3 = 0,333
, 3/11 = 0,2727
); die Periode kann lang sein, wie bei 1/7 = 0,142857142857
. Ohne Periode ist die Zahl irrational: √2 = 1,41421356
, √3 oder π = 3,14159265
. Unendlich viele Ziffern allein machen eine Zahl also nicht irrational, und nicht jede Wurzel ist irrational: √16 = 4. Auch π ist nicht 22/7 = 3,142857
; das ist nur eine NĂ€herung.

Die Zahlengerade wird lĂŒckenlos

BrĂŒche liegen dicht: Zwischen zwei BrĂŒchen liegt immer noch einer. Trotzdem lassen sie LĂŒcken. TrĂ€gt man die Diagonale des Einheitsquadrats mit dem Zirkel auf die Zahlengerade ab, trifft sie einen Punkt, zu dem kein Bruch gehört. Erst ℝ fĂŒllt alle LĂŒcken: Jedem Punkt entspricht genau eine reelle Zahl. Schon die Pythagoreer stießen auf Strecken, die sich nicht als VerhĂ€ltnis ganzer Zahlen schreiben lassen, nach der Überlieferung ein Schock fĂŒr ihr Weltbild; dass π irrational ist, wurde erst im 18. Jahrhundert bewiesen.

Der Zirkelbogen legt die Diagonale auf die Zahlengerade: Sie endet im Punkt √2. Drehe sie mit dem Regler zurĂŒck ins Quadrat und wieder heraus – gibt es einen Bruch fĂŒr diesen Punkt?

Voraussetzungen (1)

Warum √2 kein Bruch ist
Klasse 9
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Zahlenmenge ist die kleinste, die die Zahl −3 enthĂ€lt?

  • ● â„€
  • ○ ℕ
  • ○ ℚ
−3 ist nicht natĂŒrlich (ℕ), aber ganz: â„€ ist die kleinste passende Menge. Auch ℚ und ℝ enthalten −3, sind aber grĂ¶ĂŸer.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche dieser Zahlen liegt in ℚ, aber nicht in â„€?

  • ● 0,75
  • ○ √16
  • ○ −4
0,75 = 3/4 ist ein Bruch, aber keine ganze Zahl. √16 = 4 sieht irrational aus, ist aber ganz; −4 ist ganz.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Punkt im Bild stellt die Zahl −3 dar?

  • ● A
  • ○ B
  • ○ C
−3 ist ganz, aber nicht natĂŒrlich: Sie liegt im Ring von â„€ außerhalb von ℕ – Punkt A. B liegt in ℕ, C im Ring der BrĂŒche.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

√16 ist eine irrationale Zahl.

✓ Falsch
√16 = 4, denn 4 · 4 = 16. Damit ist √16 eine natĂŒrliche, also auch rationale Zahl. Eine Wurzel aus einer natĂŒrlichen Zahl ist nur dann irrational, wenn der Radikand keine Quadratzahl ist, wie bei √2.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche dieser Dezimalzahlen stellt eine rationale Zahl dar?

  • ● 0,272727
 (die Ziffern 27 wiederholen sich)
  • ○ 0,101001000100001
 (immer eine Null mehr)
  • ○ 3,14159265
 (π)
Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie abbricht oder sich eine Periode wiederholt: 0,2727
 = 3/11. Bei 0,1010010001
 wĂ€chst die Nullfolge, π hat keine Periode: beide sind irrational.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

0,333
 ist irrational, weil die Ziffern nie enden.

✓ Falsch
Nie endende Ziffern genĂŒgen nicht: 0,333
 = 1/3 hat die Periode 3 und ist rational. Irrational sind Dezimalzahlen ohne Periode.
Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

0,123456789101112131415
 (alle natĂŒrlichen Zahlen hintereinander, ohne Periode) ist irrational.

✓ Wahr
Die Ziffernfolge endet nie und wiederholt sich nie in einer Periode. Eine solche Dezimalzahl kann kein Bruch sein, also ist sie irrational.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Zirkelbogen mit der Diagonale des Einheitsquadrats als Radius trifft die Zahlengerade im Punkt P. Welche Zahl gehört zu P?

  • ● √2
  • ○ 1,4
  • ○ 2
Die Diagonale hat die LĂ€nge √2 (das Quadrat ĂŒber ihr hat den FlĂ€cheninhalt 2). P liegt bei √2 ≈ 1,414 – nicht genau bei 1,4 und nicht bei 2.
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Es gilt 1,414ÂČ = 1,999396 und 1,415ÂČ = 2,002225. Welcher Punkt gehört zu √2?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
√2 liegt zwischen 1,414 und 1,415, also bei 1,414
 – das ist Punkt B. A (1,412) und C (1,418) liegen außerhalb dieser Schranken.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Zwischen zwei BrĂŒchen liegt immer ein weiterer Bruch. Deshalb hat die Zahlengerade aus lauter BrĂŒchen keine LĂŒcken.

✓ Falsch
Dicht heißt nicht lĂŒckenlos: Der Punkt √2 gehört zu keinem Bruch, obwohl BrĂŒche beliebig nah heranreichen. Erst die reellen Zahlen fĂŒllen alle LĂŒcken.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Zu jedem Punkt der Zahlengeraden gehört genau eine reelle Zahl.

✓ Wahr
Das ist die Eigenschaft der reellen Zahlen: Zahlengerade und ℝ entsprechen sich Punkt fĂŒr Zahl, ohne LĂŒcke.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen −2; 0; 2,5; √2; 3 liegen in â„€?

✓ Antwort: 3
−2, 0 und 3 sind ganze Zahlen. 2,5 = 5/2 ist ein Bruch, √2 irrational.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Wie viele Ziffern hat die Periode von 1/7 = 0,142857142857
?

✓ Antwort: 6
Die Ziffern 1-4-2-8-5-7 wiederholen sich: PeriodenlÀnge 6.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung xÂČ = 2 in der Menge ℚ der BrĂŒche?

✓ Antwort: 0
Nach dem Beweis gibt es keinen Bruch, dessen Quadrat 2 ist. In ℝ wĂ€ren es zwei Lösungen, √2 und −√2, in ℚ keine.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen 4; −7; 0,2; √9; √5; π sind rational?

✓ Antwort: 4
4, −7, 0,2 = 1/5 und √9 = 3 sind rational. √5 und π sind irrational.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welche Ziffer steht bei 0,272727
 an der 100. Nachkommastelle?

✓ Antwort: 7
Die ungeraden Stellen sind 2, die geraden 7. Die 100. Stelle ist gerade, also steht dort 7.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen 0,5; 1/3; √3; π; 0 entsprechen einem Punkt auf der Zahlengeraden?

✓ Antwort: 5
Jede reelle Zahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden, egal ob rational oder irrational. Alle fĂŒnf Zahlen sind reell: 5 Punkte.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Ordne die Zahlen −4; 2/3; √49; 0,25; √2 jeweils der kleinsten der Mengen ℕ, â„€, ℚ, ℝ zu. BegrĂŒnde jede Zuordnung mit einer kurzen Rechnung oder einem Argument. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: −4 ∈ â„€ (negativ, ganz). 2/3 ∈ ℚ (Bruch, nicht ganz). √49 = 7, denn 7 · 7 = 49, also ∈ ℕ. 0,25 = 1/4 ∈ ℚ. √2 ∈ ℝ, aber nicht in ℚ (Beweis: √2 ist kein Bruch).
√49 sieht wie eine Wurzel aus, ist aber 7 und damit natĂŒrlich; 0,25 bricht ab und ist 1/4. Nur √2 ist irrational und liegt erst in ℝ.