Teilweise radizieren, Nenner rational
Vereinfache √72 durch teilweises Radizieren.
Erklärung: 72 = 36 · 2 und √36 = 6, also √72 = 6√2 ≈ 8,49. 36√2 hätte die Wurzel des Quadratfaktors vergessen, 6 + √2 addiert statt zu multiplizieren.
Das große gekippte Quadrat besteht aus vier Quadraten mit dem Flächeninhalt 2. Wie lang ist seine Seite, vereinfacht?
Erklärung: Der Flächeninhalt ist 4 · 2 = 8, die Seite √8 = √(4 · 2) = 2√2 ≈ 2,83 – doppelt so lang wie die Seite √2 eines Teilquadrats. 4√2 wäre √32.
Es gilt √98 = c · √2. Wie groß ist c?
Erklärung: 98 = 49 · 2 und √49 = 7, also √98 = 7√2 ≈ 9,90.
Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 75 cm². Seine Seite ist c · √3 cm. Wie groß ist c?
Erklärung: Seite = √75 = √(25 · 3) = 5√3 ≈ 8,66 cm.
Schreibe 5√2 als eine einzige Wurzel.
Erklärung: 5 = √25, also 5√2 = √25 · √2 = √50. √10 wäre 5 · 2 unter der Wurzel, √7 die Summe.
Welche Zahl ist größer, 3√5 oder 4√3?
Erklärung: 3√5 = √45 und 4√3 = √48. Weil 48 > 45 ist, ist 4√3 größer (≈ 6,93 gegen ≈ 6,71).
Es gilt 3√2 = √c. Wie groß ist c?
Erklärung: 3√2 = √9 · √2 = √18. Der Faktor 3 wird quadriert: 3² · 2 = 18.
Die Zahl 4√3 liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Wie heißt die kleinere?
Erklärung: 4√3 = √48, und 36 < 48 < 49: also 6 < 4√3 < 7. Die kleinere Zahl ist 6.
Der Nenner von 1/√2 soll rational werden. Womit erweitert man den Bruch?
Erklärung: Mit √2: (1 · √2) : (√2 · √2) = √2 : 2. Der Nenner √2 · √2 = 2 ist rational. Mit 2 bleibt die Wurzel im Nenner, mit √2 + 1 wird es nur komplizierter.
Welcher Term hat denselben Wert wie 6/√3?
Erklärung: Erweitern mit √3: 6√3 : 3 = 2√3 ≈ 3,46. 6√3 hätte den Nenner 3 vergessen; 3√3 ≈ 5,20 ist zu groß.
Es gilt 10/√5 = c · √5. Wie groß ist c?
Erklärung: 10/√5 = 10√5 : 5 = 2√5 ≈ 4,47.
Es gilt 1/√2 = √2 : 2. Berechne den Wert mit √2 ≈ 1,414 auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: √2 : 2 ≈ 1,414 : 2 = 0,707 ≈ 0,71. Mit rationalem Nenner ist die Rechnung viel einfacher als 1 : 1,414.
Der Nenner von 1/(√3 − 1) soll rational werden. Womit erweitert man den Bruch?
Erklärung: Mit √3 + 1: Der Nenner wird (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2 (dritte binomische Formel). Mit √3 − 1 entstünde (√3 − 1)², das enthält weiter eine Wurzel; mit √3 ebenso.
Das Rechteck hat die Seiten √3 + 1 und √3 − 1. Wie groß ist sein Flächeninhalt?
Erklärung: A = (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2. 4 wäre (√3)² + 1² – die Quadrate addiert statt subtrahiert; 2√3 wäre die Summe der beiden Seiten.
Berechne (√6 + 1)(√6 − 1).
Erklärung: Dritte binomische Formel: (√6)² − 1² = 6 − 1 = 5.
Es gilt 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/c. Wie groß ist c?
Erklärung: Erweitern mit √3 + 1 ergibt im Nenner (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2. Also c = 2 (Wert ≈ 1,366).
Forme 1/(√3 − 1) so um, dass der Nenner rational ist. Zeige die Erweiterung, wende die dritte binomische Formel an und prüfe das Ergebnis mit √3 ≈ 1,732.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Erweiterung mit √3 + 1 macht den Nenner zu 3 − 1 = 2. Beide Formen haben denselben Wert ≈ 1,366; nur der Nenner ist rational.