Teilweise radizieren, Nenner rational

Partial roots and rational denominators

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
QuadratwurzelnNenner rational machen

Teilweises Radizieren zieht den größten Quadratfaktor heraus: √72 = √(36 · 2) = 6√2; rückwärts wird 5√2 zu √50, womit sich Wurzelterme vergleichen lassen. Steht eine Wurzel im Nenner, erweitert man mit ihr, 1/√2 = √2 : 2, und bei √3 − 1 mit dem Gegenstück √3 + 1, weil (√3 − 1)(√3 + 1) = 2 ist. So versteht man auch Taschenrechnerausgaben wie 6√2. Räumt 36√2 statt 6√2 und das Erweitern mit dem falschen Vorzeichen aus. Bereitet exakte Werte am Einheitskreis und die Lösungsformel vor.

Teilweise radizieren

Enthält der Radikand einen Quadratfaktor, kann man ihn herausziehen: Man sucht den größten Quadratfaktor: Bei √48 geht zwar 4 · 12, aber mit 16 · 3 erhält man sofort 4√3. Der Taschenrechner zeigt oft genau diese Form: 6√2 steht für 8,485…. Rückwärts, beim Einbringen, wird . So lassen sich Wurzelterme vergleichen: 3√5 = √45 ist kleiner als 4√3 = √48.

Vier Quadrate mit je 2 Flächeneinheiten füllen ein großes. Wie oft passt die kleine Seite √2 auf die große Seite √8?

Wurzel im Nenner

Steht eine Wurzel im Nenner, erweitert man den Bruch mit ihr: . Der Wert bleibt gleich (≈ 0,71), der Nenner ist aber rational. Erlaubt ist das, weil man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert; von Hand rechnet man √2 : 2 leichter als 1 : 1,414…. Ebenso ist .

Ändere a und b. Bleiben die beiden Längen vor und nach dem Erweitern gleich?

Der Trick mit (a + b)(a − b)

Bei im Nenner hilft das Erweitern mit √3 nicht. Man erweitert mit dem Gegenstück ; nach der dritten binomischen Formel ist . Also . Mit dem Nenner selbst zu erweitern nützt nichts: (√3 − 1)² = 4 − 2√3 enthält wieder eine Wurzel.

Ändere y. Haben die L-Form und das Rechteck immer denselben Flächeninhalt?

Voraussetzungen (1)

Wurzelgesetze
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Wurzeln mit Variablen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Vereinfache √72 durch teilweises Radizieren.

  • ● 6√2
  • ○ 36√2
  • ○ 6 + √2
72 = 36 · 2 und √36 = 6, also √72 = 6√2 ≈ 8,49. 36√2 hätte die Wurzel des Quadratfaktors vergessen, 6 + √2 addiert statt zu multiplizieren.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Das große gekippte Quadrat besteht aus vier Quadraten mit dem Flächeninhalt 2. Wie lang ist seine Seite, vereinfacht?

  • ● 2√2
  • ○ 4√2
  • ○ 8
Der Flächeninhalt ist 4 · 2 = 8, die Seite √8 = √(4 · 2) = 2√2 ≈ 2,83 – doppelt so lang wie die Seite √2 eines Teilquadrats. 4√2 wäre √32.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Schreibe 5√2 als eine einzige Wurzel.

  • ● √50
  • ○ √10
  • ○ √7
5 = √25, also 5√2 = √25 · √2 = √50. √10 wäre 5 · 2 unter der Wurzel, √7 die Summe.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist größer, 3√5 oder 4√3?

  • ● 4√3
  • ○ 3√5
  • ○ Beide sind gleich groß
3√5 = √45 und 4√3 = √48. Weil 48 > 45 ist, ist 4√3 größer (≈ 6,93 gegen ≈ 6,71).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Nenner von 1/√2 soll rational werden. Womit erweitert man den Bruch?

  • ● √2
  • ○ 2
  • ○ √2 + 1
Mit √2: (1 · √2) : (√2 · √2) = √2 : 2. Der Nenner √2 · √2 = 2 ist rational. Mit 2 bleibt die Wurzel im Nenner, mit √2 + 1 wird es nur komplizierter.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Term hat denselben Wert wie 6/√3?

  • ● 2√3
  • ○ 6√3
  • ○ 3√3
Erweitern mit √3: 6√3 : 3 = 2√3 ≈ 3,46. 6√3 hätte den Nenner 3 vergessen; 3√3 ≈ 5,20 ist zu groß.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Nenner von 1/(√3 − 1) soll rational werden. Womit erweitert man den Bruch?

  • ● √3 + 1
  • ○ √3 − 1
  • ○ √3
Mit √3 + 1: Der Nenner wird (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2 (dritte binomische Formel). Mit √3 − 1 entstünde (√3 − 1)², das enthält weiter eine Wurzel; mit √3 ebenso.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Das Rechteck hat die Seiten √3 + 1 und √3 − 1. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

  • ● 2
  • ○ 4
  • ○ 2√3
A = (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2. 4 wäre (√3)² + 1² – die Quadrate addiert statt subtrahiert; 2√3 wäre die Summe der beiden Seiten.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Es gilt √98 = c · √2. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 7
98 = 49 · 2 und √49 = 7, also √98 = 7√2 ≈ 9,90.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Es gilt 3√2 = √c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 18
3√2 = √9 · √2 = √18. Der Faktor 3 wird quadriert: 3² · 2 = 18.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es gilt 10/√5 = c · √5. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 2
10/√5 = 10√5 : 5 = 2√5 ≈ 4,47.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne (√6 + 1)(√6 − 1).

✓ Antwort: 5
Dritte binomische Formel: (√6)² − 1² = 6 − 1 = 5.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 75 cm². Seine Seite ist c · √3 cm. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 5
Seite = √75 = √(25 · 3) = 5√3 ≈ 8,66 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Die Zahl 4√3 liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Wie heißt die kleinere?

✓ Antwort: 6
4√3 = √48, und 36 < 48 < 49: also 6 < 4√3 < 7. Die kleinere Zahl ist 6.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Es gilt 1/√2 = √2 : 2. Berechne den Wert mit √2 ≈ 1,414 auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.71
√2 : 2 ≈ 1,414 : 2 = 0,707 ≈ 0,71. Mit rationalem Nenner ist die Rechnung viel einfacher als 1 : 1,414.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es gilt 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 2
Erweitern mit √3 + 1 ergibt im Nenner (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2. Also c = 2 (Wert ≈ 1,366).
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Forme 1/(√3 − 1) so um, dass der Nenner rational ist. Zeige die Erweiterung, wende die dritte binomische Formel an und prüfe das Ergebnis mit √3 ≈ 1,732. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Erweitern mit (√3 + 1): 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2 ≈ 1,366. Probe: 1/(1,732 − 1) = 1/0,732 ≈ 1,366.
Die Erweiterung mit √3 + 1 macht den Nenner zu 3 − 1 = 2. Beide Formen haben denselben Wert ≈ 1,366; nur der Nenner ist rational.