Wurzeln abschätzen
Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt √30?
Erklärung: 5² = 25 und 6² = 36. Weil 25 < 30 < 36 ist, gilt 5 < √30 < 6. Wer 6 und 7 wählt, hat die nächstgrößere Quadratzahl 36 mit der Wurzel verwechselt; 15 und 16 wäre die Hälfte.
Die Gerade y = 20 schneidet die Parabel y = x² (für x ≥ 0) im Punkt P. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die x-Koordinate von P, also √20?
Erklärung: Bei x = 4 ist die Parabel bei 16, bei x = 5 bei 25. Die Höhe 20 liegt dazwischen, also 4 < √20 < 5 (√20 ≈ 4,47).
√80 liegt zwischen 8 und 9.
Erklärung: 8² = 64 und 9² = 81; 80 liegt zwischen den beiden Quadratzahlen, also 8 < √80 < 9. Es ist sogar fast 9, denn 80 liegt dicht bei 81.
√10 liegt zwischen 3 und ___
Erklärung: 3² = 9 < 10 < 16 = 4², also 3 < √10 < 4.
Die Seite eines Quadrats mit 75 cm² liegt zwischen n und n + 1 (n ganze Zahl). Wie groß ist n?
Erklärung: 8² = 64 < 75 < 81 = 9². Die Seite liegt also zwischen 8 cm und 9 cm, n = 8.
Es gilt 7,1² = 50,41. Was folgt daraus für √50?
Erklärung: Das Quadrat 50,41 ist größer als 50. Also ist 7,1 zu groß: √50 < 7,1. Gleich wäre 7,1 nur, wenn genau 50 herauskäme.
Ben will wissen, ob √60 kleiner als 7,8 ist. Was rechnet er?
Erklärung: Man prüft durch Quadrieren der Näherung: 7,8² = 60,84 > 60, also √60 < 7,8. Verdoppeln oder Wurzelziehen aus der Näherung führt nicht zum Vergleichswert.
Wegen 7,07² = 49,9849 gilt √50 > 7,07.
Erklärung: 49,9849 < 50, also ist 7,07 noch etwas zu klein: √50 > 7,07. Mit 7,08² = 50,1264 ist √50 < 7,08 eingeschachtelt.
Es gilt 7,07² = 49,9849 und 7,08² = 50,1264. Welcher Punkt stellt √50 am besten dar?
Erklärung: √50 liegt zwischen 7,07 und 7,08, also bei 7,07…. Das ist Punkt B; A (7,02) und C (7,09) liegen außerhalb dieser Schranken.
Berechne 7,4².
Erklärung: 7,4 · 7,4 = 54,76: 74 · 74 = 5476, und zwei Faktoren mit je einer Nachkommastelle ergeben zwei Nachkommastellen.
Bestimme die größte Zahl mit einer Nachkommastelle, deren Quadrat kleiner als 60 ist.
Erklärung: 7,7² = 59,29 < 60, aber 7,8² = 60,84 > 60. Also ist 7,7 die größte solche Zahl (√60 ≈ 7,746).
Wie groß ist √0,04?
Erklärung: 0,04 = 4 : 100 und √4 = 2, √100 = 10, also √0,04 = 2 : 10 = 0,2. Probe: 0,2 · 0,2 = 0,04. 0,02 hätte das Quadrat 0,0004.
Wie groß ist √1600?
Erklärung: 1600 = 16 · 100 und √16 = 4, √100 = 10, also √1600 = 40. Probe: 40 · 40 = 1600. Zwei Nullen im Radikanden werden zu einer Null im Wert.
Welcher Punkt stellt √0,04 dar?
Erklärung: √0,04 = 0,2, das ist Punkt B. A liegt bei 0,02 (Komma falsch verschoben), C bei 0,4.
√6400 = 800
Erklärung: 6400 = 64 · 100 und √64 = 8, √100 = 10, also √6400 = 80. Probe: 800² = 640 000.
Berechne √0,0025.
Erklärung: 0,0025 = 25 : 10 000 und √25 = 5, √10 000 = 100, also 5 : 100 = 0,05. Probe: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Ein quadratisches Feld hat 2500 m². Wie viele Meter Zaun braucht man rund um das Feld?
Erklärung: Seite = √2500 = 50 m (25 · 100 → 5 · 10). Umfang = 4 · 50 m = 200 m.
Bestimme √130 ohne Wurzeltaste auf zwei Nachkommastellen genau. Schachtele die Wurzel in einer Tabelle mit Quadraten Schritt für Schritt ein und begründe jeden Schritt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Schrittweise Einschachtelung: 11² = 121 und 12² = 144; dann 11,4² = 129,96 und 11,5² = 132,25; dann 11,41² = 130,1881. Also 11,40 < √130 < 11,41 (√130 ≈ 11,4018).