Wurzeln abschätzen

Estimating roots

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
QuadratwurzelnSchätzen

Wurzeln, die keine ganzen Zahlen sind, kann man einschachteln: Liegt a zwischen n² und (n + 1)², dann liegt √a zwischen n und n + 1. Stelle für Stelle wird die Näherung verfeinert, indem man Kandidaten quadriert und mit dem Radikanden vergleicht; bei glatten Zahlen genügt das Kopfrechnen mit Zehnerpotenzen (√0,04 = 0,2, √1600 = 40). Räumt aus, dass man die Mitte schätzt oder das Komma unverändert lässt. Bereitet das Heron-Verfahren, den Beweis für √2 und die Prüfung von Taschenrechnerwerten vor.

Einschachteln

Nicht jede Wurzel ist eine ganze Zahl. Wie groß ist ? Suche die Quadratzahlen, zwischen denen der Radikand liegt: 7² = 49 und 8² = 64. Wegen 49 < 50 < 64 gilt . Allgemein: Liegt a zwischen n² und (n + 1)², dann liegt √a zwischen n und n + 1. Die Mitte 7,5 ist keine gute Schätzung: 7,5² = 56,25 ist schon viel zu groß. Da 50 dicht bei 49 liegt, ist √50 nur knapp größer als 7.

Ziehe a am Regler. Bei welchen Werten von a liegt die Wurzel zwischen 5 und 6?

Stelle für Stelle

Jetzt prüfe die Zehntel durch Quadrieren: 7,1² = 50,41 ist zu groß, 7,0² = 49 zu klein. Also . Für die nächste Stelle rechnest du 7,07² = 49,9849 und 7,08² = 50,1264 und erhältst . Jede weitere Stelle kostet nur zwei Quadrate. Das Vorgehen bleibt immer gleich: einen Kandidaten quadrieren, mit dem Radikanden vergleichen, die Grenzen enger ziehen. So kannst du einen Taschenrechnerwert wie 7,0710678 nachprüfen, statt ihn nur zu glauben.

Zahlenstrahl von 7 bis 8: √50 bei 7,071068, Ausschnitt 7 bis 7,177,17,27,37,47,57,67,77,87,98√50 77,027,047,067,087,1√50
√50 liegt zwischen 7,0 und 7,1; die Vergrößerung zeigt die nächste Stelle.

Im Kopf verschieben

Bei glatten Zahlen hilft eine Beobachtung: Ein Quadrat mit zehnmal so langer Seite hat hundertmal so viel Fläche. Aus √4 = 2 folgt deshalb √400 = 20 und √0,04 = 0,2; aus √16 = 4 folgt √1600 = 40. Merke: zwei Stellen im Radikanden, eine Stelle im Wert. Bei √0,04 wird aus 0,04 = 4 : 100 die Rechnung 2 : 10 = 0,2, nicht 0,02. Die Probe bestätigt es: 0,2 · 0,2 = 0,04. Lässt sich der Radikand nicht so zerlegen, schachtelt man wie eben ein.

Ändere s. Wie verhalten sich die beiden Flächen, wenn die Seite zehnmal so lang wird?

Voraussetzungen (1)

Wurzel als Quadratseite
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Das Heron-Verfahren
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt √30?

  • ● 5 und 6
  • ○ 6 und 7
  • ○ 15 und 16
5² = 25 und 6² = 36. Weil 25 < 30 < 36 ist, gilt 5 < √30 < 6. Wer 6 und 7 wählt, hat die nächstgrößere Quadratzahl 36 mit der Wurzel verwechselt; 15 und 16 wäre die Hälfte.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Die Gerade y = 20 schneidet die Parabel y = x² (für x ≥ 0) im Punkt P. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die x-Koordinate von P, also √20?

  • ● 4 und 5
  • ○ 3 und 4
  • ○ 10 und 11
Bei x = 4 ist die Parabel bei 16, bei x = 5 bei 25. Die Höhe 20 liegt dazwischen, also 4 < √20 < 5 (√20 ≈ 4,47).
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

√80 liegt zwischen 8 und 9.

✓ Wahr
8² = 64 und 9² = 81; 80 liegt zwischen den beiden Quadratzahlen, also 8 < √80 < 9. Es ist sogar fast 9, denn 80 liegt dicht bei 81.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Es gilt 7,1² = 50,41. Was folgt daraus für √50?

  • ● √50 < 7,1
  • ○ √50 > 7,1
  • ○ √50 = 7,1
Das Quadrat 50,41 ist größer als 50. Also ist 7,1 zu groß: √50 < 7,1. Gleich wäre 7,1 nur, wenn genau 50 herauskäme.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Ben will wissen, ob √60 kleiner als 7,8 ist. Was rechnet er?

  • ● 7,8² = 60,84 und vergleicht mit 60
  • ○ 7,8 · 2 = 15,6 und vergleicht mit 60
  • ○ √7,8 ≈ 2,79 und vergleicht mit 60
Man prüft durch Quadrieren der Näherung: 7,8² = 60,84 > 60, also √60 < 7,8. Verdoppeln oder Wurzelziehen aus der Näherung führt nicht zum Vergleichswert.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Wegen 7,07² = 49,9849 gilt √50 > 7,07.

✓ Wahr
49,9849 < 50, also ist 7,07 noch etwas zu klein: √50 > 7,07. Mit 7,08² = 50,1264 ist √50 < 7,08 eingeschachtelt.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Es gilt 7,07² = 49,9849 und 7,08² = 50,1264. Welcher Punkt stellt √50 am besten dar?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
√50 liegt zwischen 7,07 und 7,08, also bei 7,07…. Das ist Punkt B; A (7,02) und C (7,09) liegen außerhalb dieser Schranken.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie groß ist √0,04?

  • ● 0,2
  • ○ 0,02
  • ○ 0,4
0,04 = 4 : 100 und √4 = 2, √100 = 10, also √0,04 = 2 : 10 = 0,2. Probe: 0,2 · 0,2 = 0,04. 0,02 hätte das Quadrat 0,0004.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Wie groß ist √1600?

  • ● 40
  • ○ 400
  • ○ 800
1600 = 16 · 100 und √16 = 4, √100 = 10, also √1600 = 40. Probe: 40 · 40 = 1600. Zwei Nullen im Radikanden werden zu einer Null im Wert.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Welcher Punkt stellt √0,04 dar?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
√0,04 = 0,2, das ist Punkt B. A liegt bei 0,02 (Komma falsch verschoben), C bei 0,4.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

√6400 = 800

✓ Falsch
6400 = 64 · 100 und √64 = 8, √100 = 10, also √6400 = 80. Probe: 800² = 640 000.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

√10 liegt zwischen 3 und ___

✓ Antwort: 4
3² = 9 < 10 < 16 = 4², also 3 < √10 < 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 7,4².

✓ Antwort: 54.76
7,4 · 7,4 = 54,76: 74 · 74 = 5476, und zwei Faktoren mit je einer Nachkommastelle ergeben zwei Nachkommastellen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne √0,0025.

✓ Antwort: 0.05
0,0025 = 25 : 10 000 und √25 = 5, √10 000 = 100, also 5 : 100 = 0,05. Probe: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Die Seite eines Quadrats mit 75 cm² liegt zwischen n und n + 1 (n ganze Zahl). Wie groß ist n?

✓ Antwort: 8
8² = 64 < 75 < 81 = 9². Die Seite liegt also zwischen 8 cm und 9 cm, n = 8.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Bestimme die größte Zahl mit einer Nachkommastelle, deren Quadrat kleiner als 60 ist.

✓ Antwort: 7.7
7,7² = 59,29 < 60, aber 7,8² = 60,84 > 60. Also ist 7,7 die größte solche Zahl (√60 ≈ 7,746).
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein quadratisches Feld hat 2500 m². Wie viele Meter Zaun braucht man rund um das Feld?

✓ Antwort: 200
Seite = √2500 = 50 m (25 · 100 → 5 · 10). Umfang = 4 · 50 m = 200 m.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Bestimme √130 ohne Wurzeltaste auf zwei Nachkommastellen genau. Schachtele die Wurzel in einer Tabelle mit Quadraten Schritt für Schritt ein und begründe jeden Schritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 11² = 121 < 130 < 144 = 12², also 11 < √130 < 12. 11,4² = 129,96 < 130 < 132,25 = 11,5², also 11,4 < √130 < 11,5. 11,40² = 129,96 < 130 < 130,1881 = 11,41², also 11,40 < √130 < 11,41. √130 ≈ 11,40.
Schrittweise Einschachtelung: 11² = 121 und 12² = 144; dann 11,4² = 129,96 und 11,5² = 132,25; dann 11,41² = 130,1881. Also 11,40 < √130 < 11,41 (√130 ≈ 11,4018).