Wurzeln mit Variablen
Was ist √((−3)²)?
Erklärung: (−3)² = 9 und √9 = 3. Die Wurzel ist nie negativ, deshalb kommt nicht −3 heraus und auch nicht ±3.
Welcher Term ist für alle reellen Zahlen x gleich √(x²)?
Erklärung: Für x ≥ 0 ist √(x²) = x, für x < 0 ist √(x²) = −x. Beides zusammen ist |x|. x allein stimmt nur für x ≥ 0, −x nur für x ≤ 0.
Welcher Graph gehört zu y = √(x²)?
Erklärung: Für negative x ist √(x²) positiv, also liegt der Graph über der x-Achse: die V-Form h = |x|. Die Gerade g wäre y = x.
Für x = −4 gilt √(x²) = −x.
Erklärung: √((−4)²) = √16 = 4 und −x = −(−4) = 4. Für negative x ist −x positiv und gleich |x|.
Berechne √((−7)²).
Erklärung: (−7)² = 49 und √49 = 7 = |−7|.
Berechne √(x²) + x für x = −5.
Erklärung: Für x = −5 ist √(x²) = √25 = 5, und 5 + (−5) = 0. Ohne Betrag würde man 2x = −10 erhalten.
Vereinfache √(9x²).
Erklärung: √(9x²) = √9 · √(x²) = 3|x|. Ohne den Betrag stimmt es nur für x ≥ 0. Die 9 wird zu 3, nicht zu 9.
Vereinfache √((x + 3)²).
Erklärung: Die Wurzel aus einem Quadrat ist der Betrag der Basis: √((x + 3)²) = |x + 3|. Für x = −5 wäre x + 3 = −2 falsch, |x + 3| = 2 richtig; |x| + 3 ist etwas anderes.
√(x⁴) = x² für alle reellen x.
Erklärung: x⁴ = (x²)², und x² ist nie negativ. Deshalb braucht man keinen Betrag: √(x⁴) = x².
√(x² + 9) = |x| + 3
Erklärung: Auch hier gibt es kein Gesetz für Summen: Für x = 4 ist √25 = 5, aber |4| + 3 = 7.
Berechne √((x − 4)²) für x = 1.
Erklärung: x − 4 = −3, und √((−3)²) = 3 = |x − 4|.
Berechne √(4x²) − 2x für x = −3.
Erklärung: Für x = −3 ist √(4x²) = √36 = 6 (= 2|x|) und 2x = −6. Also 6 − (−6) = 12.
Vereinfache √(12a³) für a ≥ 0.
Erklärung: 12a³ = 4a² · 3a, also √(12a³) = 2a√(3a). Aus dem Quadratfaktor 4a² wird 2a, nicht 4a; der Rest 3a bleibt unter der Wurzel, nicht nur die 3.
Für welche x ist √(x − 2) definiert?
Erklärung: Der Radikand darf nicht negativ sein: x − 2 ≥ 0, also x ≥ 2. Bei x = 2 ist √0 = 0 erlaubt.
√(8x²y) = 2x√(2y) gilt für alle reellen x und alle y ≥ 0.
Erklärung: Der Quadratfaktor x² liefert |x|, nicht x: √(8x²y) = 2|x|√(2y). Für x = −1, y = 1 ist √8 ≈ 2,83, aber 2x√(2y) ≈ −2,83.
Es gilt √(50a²) = c · a√2 für a ≥ 0. Wie groß ist c?
Erklärung: 50a² = 25a² · 2, also √(50a²) = 5a√2.
Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 18a² cm² (a > 0). Seine Seite ist c · a√2 cm. Wie groß ist c?
Erklärung: Seite = √(18a²) = √(9a² · 2) = 3a√2 cm.
Vereinfache √(x² − 10x + 25) mit einer binomischen Formel. Schreibe das Ergebnis ohne Betrag für x ≥ 5 und für x < 5 auf und berechne den Wert für x = 2.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Wurzel aus einem Quadrat ist der Betrag der Basis. Für x = 2 ist x − 5 = −3, der Betrag also 3.