Wurzeln mit Variablen

Roots with variables

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
QuadratwurzelnBetrag

Bei Wurzeln aus Termen mit Variablen kommt der Betrag ins Spiel: √(x²) = |x|, denn die Wurzel ist nie negativ; für x = −3 ist √((−3)²) = 3, nicht −3. So wird √(9x²) = 3|x| und √((x + 3)²) = |x + 3|, während √(x⁴) = x² ohne Betrag auskommt. Beim teilweisen Radizieren, √(12a³) = 2a√(3a) für a ≥ 0, muss der Radikand nichtnegativ sein. Räumt √(x²) = x und √(x² + 9) = x + 3 aus. Bereitet die Lösungsformel mit Wurzel aus der Diskriminante und Definitionsmengen vor.

Was ist ? Für x = 5 ist es 5. Für x = −3 gilt aber , nicht −3. Die Wurzel ist nie negativ; deshalb kommt der Betrag ins Spiel: Nur wenn x ≥ 0 bekannt ist, darf man den Betrag weglassen.

So wird und . Der Term braucht keinen Betrag, denn x² ist nie negativ. Und lässt sich nicht zu |x| + 3 vereinfachen.

Beim teilweisen Radizieren zieht man ebenfalls den Quadratfaktor heraus: für a ≥ 0 ist . Ist das Vorzeichen offen, steht der Betrag: für y ≥ 0. Und der Radikand darf nie negativ sein: gibt es nur für x ≥ 2.

Stelle x auf negative Werte. Wo liegt √(x²), wo liegt x?

Voraussetzungen (1)

Teilweise radizieren, Nenner rational
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Was ist √((−3)²)?

  • ● 3
  • ○ −3
  • ○ ±3
(−3)² = 9 und √9 = 3. Die Wurzel ist nie negativ, deshalb kommt nicht −3 heraus und auch nicht ±3.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Term ist für alle reellen Zahlen x gleich √(x²)?

  • ● |x|
  • ○ x
  • ○ −x
Für x ≥ 0 ist √(x²) = x, für x < 0 ist √(x²) = −x. Beides zusammen ist |x|. x allein stimmt nur für x ≥ 0, −x nur für x ≤ 0.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welcher Graph gehört zu y = √(x²)?

  • ● h
  • ○ g
  • ○ keiner von beiden
Für negative x ist √(x²) positiv, also liegt der Graph über der x-Achse: die V-Form h = |x|. Die Gerade g wäre y = x.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für x = −4 gilt √(x²) = −x.

✓ Wahr
√((−4)²) = √16 = 4 und −x = −(−4) = 4. Für negative x ist −x positiv und gleich |x|.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Vereinfache √(9x²).

  • ● 3|x|
  • ○ 3x
  • ○ 9|x|
√(9x²) = √9 · √(x²) = 3|x|. Ohne den Betrag stimmt es nur für x ≥ 0. Die 9 wird zu 3, nicht zu 9.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Vereinfache √((x + 3)²).

  • ● |x + 3|
  • ○ x + 3
  • ○ |x| + 3
Die Wurzel aus einem Quadrat ist der Betrag der Basis: √((x + 3)²) = |x + 3|. Für x = −5 wäre x + 3 = −2 falsch, |x + 3| = 2 richtig; |x| + 3 ist etwas anderes.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

√(x⁴) = x² für alle reellen x.

✓ Wahr
x⁴ = (x²)², und x² ist nie negativ. Deshalb braucht man keinen Betrag: √(x⁴) = x².
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

√(x² + 9) = |x| + 3

✓ Falsch
Auch hier gibt es kein Gesetz für Summen: Für x = 4 ist √25 = 5, aber |4| + 3 = 7.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Vereinfache √(12a³) für a ≥ 0.

  • ● 2a√(3a)
  • ○ 4a√(3a)
  • ○ 2a√3
12a³ = 4a² · 3a, also √(12a³) = 2a√(3a). Aus dem Quadratfaktor 4a² wird 2a, nicht 4a; der Rest 3a bleibt unter der Wurzel, nicht nur die 3.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Für welche x ist √(x − 2) definiert?

  • ● x ≥ 2
  • ○ x ≤ 2
  • ○ x > 0
Der Radikand darf nicht negativ sein: x − 2 ≥ 0, also x ≥ 2. Bei x = 2 ist √0 = 0 erlaubt.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

√(8x²y) = 2x√(2y) gilt für alle reellen x und alle y ≥ 0.

✓ Falsch
Der Quadratfaktor x² liefert |x|, nicht x: √(8x²y) = 2|x|√(2y). Für x = −1, y = 1 ist √8 ≈ 2,83, aber 2x√(2y) ≈ −2,83.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne √((−7)²).

✓ Antwort: 7
(−7)² = 49 und √49 = 7 = |−7|.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne √((x − 4)²) für x = 1.

✓ Antwort: 3
x − 4 = −3, und √((−3)²) = 3 = |x − 4|.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es gilt √(50a²) = c · a√2 für a ≥ 0. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 5
50a² = 25a² · 2, also √(50a²) = 5a√2.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne √(x²) + x für x = −5.

✓ Antwort: 0
Für x = −5 ist √(x²) = √25 = 5, und 5 + (−5) = 0. Ohne Betrag würde man 2x = −10 erhalten.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Berechne √(4x²) − 2x für x = −3.

✓ Antwort: 12
Für x = −3 ist √(4x²) = √36 = 6 (= 2|x|) und 2x = −6. Also 6 − (−6) = 12.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 18a² cm² (a > 0). Seine Seite ist c · a√2 cm. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 3
Seite = √(18a²) = √(9a² · 2) = 3a√2 cm.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Vereinfache √(x² − 10x + 25) mit einer binomischen Formel. Schreibe das Ergebnis ohne Betrag für x ≥ 5 und für x < 5 auf und berechne den Wert für x = 2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x² − 10x + 25 = (x − 5)². Also √(x² − 10x + 25) = |x − 5|. Für x ≥ 5: x − 5; für x < 5: 5 − x. Für x = 2: |2 − 5| = 3.
Die Wurzel aus einem Quadrat ist der Betrag der Basis. Für x = 2 ist x − 5 = −3, der Betrag also 3.