Der Erwartungswert
Die Zufallsgröße X hat die Verteilung im Bild. Welche Rechnung liefert E(X)?
Erklärung: Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und die Produkte werden addiert: 0 + 0,6 + 2 = 2,6. Der einfache Mittelwert (0 + 2 + 10) : 3 ignoriert die Wahrscheinlichkeiten; 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1 ist nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Das Rad zahlt die Werte 0 €, 1 €, 5 € und 10 € aus. Deshalb ist E(X) = (0 + 1 + 5 + 10) : 4 = 4 €.
Erklärung: Die Werte kommen nicht gleich oft vor: Rot (0 €) hat die Wahrscheinlichkeit 0,55, Gelb (10 €) nur 0,05. Gewichtet: E(X) = 0 · 0,55 + 1 · 0,25 + 5 · 0,15 + 10 · 0,05 = 1,5.
Welchen Erwartungswert hat die Zufallsgröße X mit der Verteilung im Bild?
Erklärung: E(X) = 1 · 0,5 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7. Der Wert 2 ist der ungewichtete Mittelwert von 1, 2, 3; der Wert 1 ist nur der wahrscheinlichste Wert.
Die Verteilung von X zeigt das Bild. Berechne E(X).
Erklärung: E(X) = 1 · 0,4 + 3 · 0,4 + 8 · 0,2 = 0,4 + 1,2 + 1,6 = 3,2.
Ein Würfelspiel zahlt bei der Augenzahl 6 zwölf Euro, bei 4 oder 5 drei Euro und sonst nichts. X ist die Auszahlung. Berechne E(X) in Euro.
Erklärung: P(X = 12) = 1/6, P(X = 3) = 2/6, P(X = 0) = 3/6. E(X) = 12 · 1/6 + 3 · 2/6 + 0 = 2 + 1 = 3 €.
Das Diagramm zeigt die Verteilung der Augensumme X zweier Würfel. Berechne E(X).
Erklärung: E(X) = (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 5 + 7 · 6 + 8 · 5 + 9 · 4 + 10 · 3 + 11 · 2 + 12 · 1) / 36 = 252/36 = 7. Die Verteilung ist symmetrisch zu 7.
Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Du drehst es 1000-mal. Welche durchschnittliche Auszahlung pro Spiel erwartest du?
Erklärung: Auf lange Sicht pendelt sich der Durchschnitt bei E(X) = 1,5 € ein. 0 € ist nur der wahrscheinlichste Wert; 4 € ignoriert die Gewichte.
Man denkt sich die Säulen als Gewichte auf einer Wippe. Bei welchem Wert liegt der Balancepunkt E(X) der Auszahlung des Rades?
Erklärung: Die rechten Säulen sind klein, aber weit außen: Sie ziehen den Balancepunkt von 0 nach 1,5. Mitte des Wertebereichs (5) und höchste Säule (0) sind nicht der Schwerpunkt.
Das Rad kann in einem einzelnen Spiel niemals genau E(X) = 1,5 € auszahlen.
Erklärung: Das Rad zahlt 0, 1, 5 oder 10 € aus, nie genau 1,50 €. Ein Erwartungswert muss kein möglicher Wert sein.
Nach fünf Spielen mit niedriger Auszahlung ist im nächsten Spiel eine hohe Auszahlung fällig, damit der Durchschnitt wieder bei E(X) liegt.
Erklärung: Das Rad hat kein Gedächtnis: Jedes Spiel hat dieselbe Verteilung. Der Durchschnitt nähert sich E(X), weil viele neue Spiele die alten verdünnen, nicht weil ausgeglichen wird.
Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Wie hoch ist die insgesamt erwartete Auszahlung bei 200 Spielen (in Euro)?
Erklärung: Bei 200 Spielen erwartet man 200 · 1,5 = 300 €. Die tatsächliche Summe weicht etwas ab.
Das Diagramm zeigt den Durchschnitt der Auszahlung eines anderen Rades nach n Spielen. Schätze E(X) in Euro.
Erklärung: Der Durchschnitt pendelt sich bei etwa 2,4 € ein. Die frühen Werte (3,4 nach 20 Spielen) sind noch unruhig.
Es gilt E(X) = 3. Y = 2X + 1. Wie groß ist E(Y)?
Erklärung: E(2X + 1) = 2 · E(X) + 1 = 2 · 3 + 1 = 7. Die 6 vergisst die Konstante, die 8 rechnet 2 · (3 + 1) und multipliziert die Konstante mit.
Es gilt E(X) = 5. Dann ist für Y = X − 2 der Erwartungswert E(Y) = 3.
Erklärung: Mit a = 1 und b = −2 ist E(X − 2) = 1 · E(X) − 2 = 5 − 2 = 3. Ein Abzug von 2 verschiebt auch den Balancepunkt um 2.
Es gilt E(X) = 4,5. Y = 3X. Berechne E(Y).
Erklärung: E(3X) = 3 · E(X) = 3 · 4,5 = 13,5.
Ein Sponsor verdreifacht beim Rad (E(X) = 1,5 €) jede Auszahlung und zieht danach 1 € Gebühr ab: Y = 3X − 1. Wie groß ist E(Y) in Euro?
Erklärung: E(3X − 1) = 3 · 1,5 − 1 = 4,5 − 1 = 3,5 €. Die Gebühr wird nur einmal abgezogen.
Beim Glücksrad ist X die Auszahlung (0 €, 1 €, 5 €, 10 € mit den Wahrscheinlichkeiten 0,55, 0,25, 0,15, 0,05). Das Spiel wird geändert: Die neue Auszahlung ist Y = 2X + 1. Berechne E(X). Berechne dann E(Y) auf zwei Wegen: (a) mit der Verteilung von Y, (b) mit einer Formel für E(2X + 1). Vergleiche.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Umrechnen wirkt auf jeden Wert, die Wahrscheinlichkeiten bleiben. Deshalb gilt E(aX + b) = a · E(X) + b: 2 · 1,5 + 1 = 4.