Der Erwartungswert

The expected value

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStochastikErwartungswertZufallsgröße

E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ) gewichtet jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit; es ist der Balancepunkt der Verteilung und der Wert, um den sich der Durchschnitt vieler Versuche einpendelt. E(aX + b) = a · E(X) + b. Räumt aus: den ungewichteten Mittelwert der Werte, E(X) als wahrscheinlichsten oder als möglichen Wert und als Vorhersage des nächsten Spiels (Konolds Ergebnisorientierung 1989; Mokros und Russell 1995 zum Mittelwert). Bereitet Varianz, faire Spiele und μ = n · p vor.

Gewichteter Mittelwert

Was zahlt das Rad im Mittel aus? Nicht , denn Rot kommt viel öfter als Gelb. Der Erwartungswert gewichtet jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit:

Im Bild ist der Balancepunkt der Säulen: Dort liegt die Wippe waagerecht. Der Name täuscht: Erwartet wird der Durchschnitt vieler Spiele, nicht das Ergebnis des nächsten. Der Wert 1,50 € kommt beim Rad nie vor, ein Erwartungswert muss also kein möglicher Wert sein. Auch beim Würfel ist , obwohl es keine 3,5 gibt.

Verschiebe den Drehpunkt m, bis die Wippe waagerecht liegt. Bei welchem m ist die Summe 0?

Auf lange Sicht

sagt nicht voraus, was im nächsten Spiel passiert. Es ist der Wert, um den sich der Durchschnitt vieler Spiele einpendelt: Nach 400 Spielen liegt er bei 1,51 €. Nach fünf Spielen mit wenig Auszahlung ist nichts „fällig“: Jedes Spiel hat dieselbe Verteilung, die alten Spiele werden nur von immer mehr neuen verdünnt.

Vergrößere n. Ab welcher Spielzahl bleibt der Durchschnitt dicht an der gestrichelten Linie?

Verdoppelt das Rad jede Auszahlung und zahlt 1 € dazu, wird aus die Größe . Dann gilt . Allgemein: .

Voraussetzungen (1)

Zufallsgröße und Verteilung
Klasse 12
›

Ermöglicht (2)

Faire Spiele
Klasse 12
›
Varianz und Standardabweichung
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Zufallsgröße X hat die Verteilung im Bild. Welche Rechnung liefert E(X)?

  • ● 0 · 0,5 + 2 · 0,3 + 10 · 0,2
  • ○ (0 + 2 + 10) : 3
  • ○ 0,5 + 0,3 + 0,2
Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und die Produkte werden addiert: 0 + 0,6 + 2 = 2,6. Der einfache Mittelwert (0 + 2 + 10) : 3 ignoriert die Wahrscheinlichkeiten; 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1 ist nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Das Rad zahlt die Werte 0 €, 1 €, 5 € und 10 € aus. Deshalb ist E(X) = (0 + 1 + 5 + 10) : 4 = 4 €.

✓ Falsch
Die Werte kommen nicht gleich oft vor: Rot (0 €) hat die Wahrscheinlichkeit 0,55, Gelb (10 €) nur 0,05. Gewichtet: E(X) = 0 · 0,55 + 1 · 0,25 + 5 · 0,15 + 10 · 0,05 = 1,5.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welchen Erwartungswert hat die Zufallsgröße X mit der Verteilung im Bild?

  • ● 1,7
  • ○ 2
  • ○ 1
E(X) = 1 · 0,5 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7. Der Wert 2 ist der ungewichtete Mittelwert von 1, 2, 3; der Wert 1 ist nur der wahrscheinlichste Wert.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Du drehst es 1000-mal. Welche durchschnittliche Auszahlung pro Spiel erwartest du?

  • ● Etwa 1,50 €
  • ○ Etwa 0 €, weil Rot am häufigsten ist
  • ○ Etwa 4 €, der Mittelwert der vier Auszahlungen
Auf lange Sicht pendelt sich der Durchschnitt bei E(X) = 1,5 € ein. 0 € ist nur der wahrscheinlichste Wert; 4 € ignoriert die Gewichte.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Man denkt sich die Säulen als Gewichte auf einer Wippe. Bei welchem Wert liegt der Balancepunkt E(X) der Auszahlung des Rades?

  • ● Bei 1,5
  • ○ Bei 0, der höchsten Säule
  • ○ Bei 5, der Mitte von 0 bis 10
Die rechten Säulen sind klein, aber weit außen: Sie ziehen den Balancepunkt von 0 nach 1,5. Mitte des Wertebereichs (5) und höchste Säule (0) sind nicht der Schwerpunkt.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Das Rad kann in einem einzelnen Spiel niemals genau E(X) = 1,5 € auszahlen.

✓ Wahr
Das Rad zahlt 0, 1, 5 oder 10 € aus, nie genau 1,50 €. Ein Erwartungswert muss kein möglicher Wert sein.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Nach fünf Spielen mit niedriger Auszahlung ist im nächsten Spiel eine hohe Auszahlung fällig, damit der Durchschnitt wieder bei E(X) liegt.

✓ Falsch
Das Rad hat kein Gedächtnis: Jedes Spiel hat dieselbe Verteilung. Der Durchschnitt nähert sich E(X), weil viele neue Spiele die alten verdünnen, nicht weil ausgeglichen wird.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Es gilt E(X) = 3. Y = 2X + 1. Wie groß ist E(Y)?

  • ● 7
  • ○ 6
  • ○ 8
E(2X + 1) = 2 · E(X) + 1 = 2 · 3 + 1 = 7. Die 6 vergisst die Konstante, die 8 rechnet 2 · (3 + 1) und multipliziert die Konstante mit.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Es gilt E(X) = 5. Dann ist für Y = X − 2 der Erwartungswert E(Y) = 3.

✓ Wahr
Mit a = 1 und b = −2 ist E(X − 2) = 1 · E(X) − 2 = 5 − 2 = 3. Ein Abzug von 2 verschiebt auch den Balancepunkt um 2.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Verteilung von X zeigt das Bild. Berechne E(X).

✓ Antwort: 3.2
E(X) = 1 · 0,4 + 3 · 0,4 + 8 · 0,2 = 0,4 + 1,2 + 1,6 = 3,2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Wie hoch ist die insgesamt erwartete Auszahlung bei 200 Spielen (in Euro)?

✓ Antwort: 300
Bei 200 Spielen erwartet man 200 · 1,5 = 300 €. Die tatsächliche Summe weicht etwas ab.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt E(X) = 4,5. Y = 3X. Berechne E(Y).

✓ Antwort: 13.5
E(3X) = 3 · E(X) = 3 · 4,5 = 13,5.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Würfelspiel zahlt bei der Augenzahl 6 zwölf Euro, bei 4 oder 5 drei Euro und sonst nichts. X ist die Auszahlung. Berechne E(X) in Euro.

✓ Antwort: 3
P(X = 12) = 1/6, P(X = 3) = 2/6, P(X = 0) = 3/6. E(X) = 12 · 1/6 + 3 · 2/6 + 0 = 2 + 1 = 3 €.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Augensumme X zweier Würfel. Berechne E(X).

✓ Antwort: 7
E(X) = (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 5 + 7 · 6 + 8 · 5 + 9 · 4 + 10 · 3 + 11 · 2 + 12 · 1) / 36 = 252/36 = 7. Die Verteilung ist symmetrisch zu 7.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt den Durchschnitt der Auszahlung eines anderen Rades nach n Spielen. Schätze E(X) in Euro.

✓ Antwort: 2.4
Der Durchschnitt pendelt sich bei etwa 2,4 € ein. Die frühen Werte (3,4 nach 20 Spielen) sind noch unruhig.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Sponsor verdreifacht beim Rad (E(X) = 1,5 €) jede Auszahlung und zieht danach 1 € Gebühr ab: Y = 3X − 1. Wie groß ist E(Y) in Euro?

✓ Antwort: 3.5
E(3X − 1) = 3 · 1,5 − 1 = 4,5 − 1 = 3,5 €. Die Gebühr wird nur einmal abgezogen.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Beim Glücksrad ist X die Auszahlung (0 €, 1 €, 5 €, 10 € mit den Wahrscheinlichkeiten 0,55, 0,25, 0,15, 0,05). Das Spiel wird geändert: Die neue Auszahlung ist Y = 2X + 1. Berechne E(X). Berechne dann E(Y) auf zwei Wegen: (a) mit der Verteilung von Y, (b) mit einer Formel für E(2X + 1). Vergleiche. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: E(X) = 0 · 0,55 + 1 · 0,25 + 5 · 0,15 + 10 · 0,05 = 1,5. Y nimmt die Werte 1, 3, 11, 21 an (gleiche Wahrscheinlichkeiten). Weg (a): E(Y) = 1 · 0,55 + 3 · 0,25 + 11 · 0,15 + 21 · 0,05 = 0,55 + 0,75 + 1,65 + 1,05 = 4. Weg (b): E(Y) = 2 · 1,5 + 1 = 4. Beide Wege stimmen überein.
Umrechnen wirkt auf jeden Wert, die Wahrscheinlichkeiten bleiben. Deshalb gilt E(aX + b) = a · E(X) + b: 2 · 1,5 + 1 = 4.