Faire Spiele
Das Rad zahlt Rot 0 €, Blau 1 €, Grün 5 €, Gelb 10 € aus (Bild). Ein Spiel kostet 2 € Einsatz. Welche Werte nimmt der Gewinn G an?
Erklärung: G = Auszahlung − Einsatz: 0 − 2, 1 − 2, 5 − 2, 10 − 2 = −2, −1, 3, 8. Die Werte 0, 1, 5, 10 sind die Auszahlungen (Einsatz vergessen); −1, 0, 4, 9 gehören zu einem Einsatz von 1 €.
Bei 2 € Einsatz ist P(G = 3) genauso groß wie P(X = 5) = 0,15.
Erklärung: G = 3 tritt genau dann ein, wenn die Auszahlung 5 € beträgt. Der Einsatz verschiebt nur die Werte, nicht ihre Wahrscheinlichkeiten.
Das Bild zeigt die Verteilung des Gewinns G beim Rad mit 2 € Einsatz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man Gewinn macht (G > 0)?
Erklärung: Gewinn machen nur die Werte 3 und 8: 0,15 + 0,05 = 0,2. Die 0,45 ist die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von mindestens 1 € – das ist nach Abzug des Einsatzes noch kein Gewinn; 0,8 ist P(G ≤ −1).
Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Der Einsatz beträgt 2,50 €. Wie groß ist E(G) in Euro?
Erklärung: E(G) = E(X) − c = 1,5 − 2,5 = −1 €. Das Vorzeichen zeigt: im Mittel ein Verlust.
Bei einem Jahrmarktspiel ist die erwartete Auszahlung 4,20 €, der Einsatz 5 €. Wie groß ist der erwartete Gewinn des Spielers pro Spiel in Euro?
Erklärung: E(G) = 4,20 − 5 = −0,80 €. Pro Spiel verliert der Spieler im Mittel 80 Cent.
Die Auszahlung X des Rades (Bild) hat E(X) = 1,5 €. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
Erklärung: Fair heißt E(G) = E(X) − c = 0, also c = 1,50 €. Bei 2 € verliert man im Mittel 0,50 €; 4 € wäre der ungewichtete Mittelwert der vier Auszahlungen.
Bei einem Spiel gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Euro und verliert mit 0,5 zwei Euro. Wegen der gleichen Chancen ist es fair.
Erklärung: Fair hängt an E(G) = 0, nicht an gleichen Chancen: E(G) = 0,5 · 1 − 0,5 · 2 = −0,5. Das Spiel ist unfair.
Das Bild zeigt die Verteilung des Gewinns G eines Spiels. Ist das Spiel fair?
Erklärung: E(G) = −1,2 + 1,2 = 0: fair. Dass man nur mit 0,4 gewinnt, wird durch den höheren Gewinn 3 gegenüber dem Verlust 2 ausgeglichen.
Ein Rad hat die Auszahlungsverteilung im Bild (0 €, 5 € und 20 €). Welcher Einsatz (in Euro) macht das Spiel fair?
Erklärung: E(X) = 0 · 0,7 + 5 · 0,2 + 20 · 0,1 = 1 + 2 = 3. Fair ist ein Einsatz von 3 €.
Ein Würfelspiel kostet 2 € Einsatz und zahlt nur bei der Augenzahl 6 aus. Wie viele Euro müsste es bei einer 6 auszahlen, damit es fair ist?
Erklärung: Mit Auszahlung a bei P = 1/6 ist E(X) = a/6. Fair: a/6 = 2, also a = 12 €.
Das Rad mit 2 € Einsatz hat E(G) = −0,5 €. Welchen Gesamtgewinn erwartet man nach 100 Spielen?
Erklärung: Erwartet wird n · E(G) = 100 · (−0,5) = −50 €. Die 0,50 € sind der Erwartungswert je Spiel, nicht der Gesamtwert; das Vorzeichen zeigt Verlust.
Ein Spieler hat nach 100 Spielen +30 € Gesamtgewinn (Bild), obwohl E(G) = −0,5 € gilt. Was folgt?
Erklärung: Der Gesamtgewinn streut um n · E(G) = −50 €; +30 € nach 100 Spielen ist eine mögliche Schwankung. Im weiteren Verlauf nähert sich die Kurve der Geraden, ohne dass ein „Ausgleich“ nötig wäre.
Beim Rad mit 2 € Einsatz ist E(G) = −0,5 €. Deshalb verliert der Spieler in jedem einzelnen Spiel Geld.
Erklärung: E(G) beschreibt den Durchschnitt auf lange Sicht. Ein einzelnes Spiel mit Auszahlung 5 € oder 10 € bringt trotzdem Gewinn (3 € bzw. 8 €).
Ein Spiel hat E(G) = −0,5 € pro Spiel. Wie hoch ist der erwartete Gesamtgewinn nach 400 Spielen (in Euro)?
Erklärung: 400 · (−0,5) = −200 €. Die simulierte Bilanz weicht davon etwas ab.
Ein Anbieter verdient im Mittel 0,30 € pro Spiel. Nach wie vielen Spielen erwartet er einen Gesamtgewinn von 240 €?
Erklärung: n · 0,30 = 240 ergibt n = 240 : 0,30 = 800 Spiele.
Die Klasse will mit dem Glücksrad (Auszahlung 0 €, 1 €, 5 €, 10 € mit den Wahrscheinlichkeiten 0,55, 0,25, 0,15, 0,05) im Mittel 0,30 € pro Spiel verdienen. Berechne E(X). Bestimme den Einsatz c und gib den erwarteten Gewinn der Klasse für 500 Spiele an. Nenne den erwarteten Gewinn eines Spielers pro Spiel.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Fair wäre c = 1,50 €. Für 0,30 € Verdienst pro Spiel legt die Klasse 0,30 € drauf: c = 1,80 €. Bei 500 Spielen erwartet sie 500 · 0,30 = 150 €.