Faire Spiele

Fair games

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikErwartungswertFaires Spiel

Der Gewinn G = X − c ist eine Zufallsgröße mit E(G) = E(X) − c. Ein Spiel ist fair, wenn E(G) = 0 gilt, der Einsatz also dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht; nach n Spielen erwartet man etwa n · E(G). Räumt aus: „fair“ heiße gleiche Gewinnchancen, die Auszahlung mit dem Gewinn zu verwechseln und ein einzelnes Spiel als Beleg zu nehmen. Bereitet das Entscheiden unter Unsicherheit beim Signifikanztest vor.

Gewinn statt Auszahlung

Was der Spieler behält, ist der Gewinn $G = X - c$ mit dem Einsatz $c$ . Bei 2 € Einsatz nimmt $G$ die Werte −2, −1, 3 und 8 an, mit denselben Wahrscheinlichkeiten wie die Auszahlungen. Für den Mittelwert gilt $E (G) = E (X) - c = 1, 5 - 2 = - 0, 5$ €: Im Schnitt verliert der Spieler 50 Cent pro Spiel. Bei $E (G) > 0$ läge der Vorteil beim Spieler, bei $E (G) < 0$ beim Anbieter.

Verändere den Einsatz c. Bei welchem Einsatz liegt der rote Punkt genau auf der gestrichelten Linie?

Ein Spiel heißt fair, wenn $E (G) = 0$ ist, wenn also der Einsatz gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist. Hier sind das 1,50 €. „Fair“ heißt nicht „gleiche Gewinnchancen“: Bei 1,50 € Einsatz gewinnt man nur mit Wahrscheinlichkeit 0,2, und das Spiel ist trotzdem fair. Der Erwartungswert ist der Preis, bei dem sich Spieler und Anbieter auf lange Sicht die Waage halten.

Auf lange Sicht

Nach $n$ Spielen erwartet man einen Gesamtgewinn von etwa $n \cdot E (G)$ . Bei 2 € Einsatz sind das nach 400 Spielen −200 €. Einzelne Spiele können trotzdem gewinnen, denn die Streuung bleibt: $σ (G) = σ (X) \approx 2, 60$ €.

Summe der Gewinne bei 2 € Einsatz nach je 50 Spielen (simuliert) und die Gerade n · E(G) mit −0,5 € pro Spiel.

Fair sagt nur, dass der Gewinn im Mittel 0 ist. Wie stark er um 0 schwankt, beschreibt $σ (G)$ . Ein unfaires Spiel begünstigt eine Seite, aber nur auf lange Sicht. Wer $E (G)$ kennt, kann also entscheiden, ob er es spielt.

Voraussetzungen (1)

Der Erwartungswert

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das Rad zahlt Rot 0 €, Blau 1 €, Grün 5 €, Gelb 10 € aus (Bild). Ein Spiel kostet 2 € Einsatz. Welche Werte nimmt der Gewinn G an?

● −2, −1, 3, 8
○ 0, 1, 5, 10
○ −1, 0, 4, 9

G = Auszahlung − Einsatz: 0 − 2, 1 − 2, 5 − 2, 10 − 2 = −2, −1, 3, 8. Die Werte 0, 1, 5, 10 sind die Auszahlungen (Einsatz vergessen); −1, 0, 4, 9 gehören zu einem Einsatz von 1 €.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei 2 € Einsatz ist P(G = 3) genauso groß wie P(X = 5) = 0,15.

✓ Wahr

G = 3 tritt genau dann ein, wenn die Auszahlung 5 € beträgt. Der Einsatz verschiebt nur die Werte, nicht ihre Wahrscheinlichkeiten.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt die Verteilung des Gewinns G beim Rad mit 2 € Einsatz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man Gewinn macht (G > 0)?

● 0,2
○ 0,45
○ 0,8

Gewinn machen nur die Werte 3 und 8: 0,15 + 0,05 = 0,2. Die 0,45 ist die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von mindestens 1 € – das ist nach Abzug des Einsatzes noch kein Gewinn; 0,8 ist P(G ≤ −1).

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Auszahlung X des Rades (Bild) hat E(X) = 1,5 €. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

● 1,50 €
○ 2,00 €
○ 4,00 €

Fair heißt E(G) = E(X) − c = 0, also c = 1,50 €. Bei 2 € verliert man im Mittel 0,50 €; 4 € wäre der ungewichtete Mittelwert der vier Auszahlungen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Bei einem Spiel gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Euro und verliert mit 0,5 zwei Euro. Wegen der gleichen Chancen ist es fair.

✓ Falsch

Fair hängt an E(G) = 0, nicht an gleichen Chancen: E(G) = 0,5 · 1 − 0,5 · 2 = −0,5. Das Spiel ist unfair.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt die Verteilung des Gewinns G eines Spiels. Ist das Spiel fair?

● Ja, E(G) = −2 · 0,6 + 3 · 0,4 = 0
○ Nein, die Gewinnchance ist nur 0,4
○ Nein, der Verlust kommt häufiger vor als der Gewinn

E(G) = −1,2 + 1,2 = 0: fair. Dass man nur mit 0,4 gewinnt, wird durch den höheren Gewinn 3 gegenüber dem Verlust 2 ausgeglichen.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Das Rad mit 2 € Einsatz hat E(G) = −0,5 €. Welchen Gesamtgewinn erwartet man nach 100 Spielen?

● −50 €
○ −0,50 €
○ +50 €

Erwartet wird n · E(G) = 100 · (−0,5) = −50 €. Die 0,50 € sind der Erwartungswert je Spiel, nicht der Gesamtwert; das Vorzeichen zeigt Verlust.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Spieler hat nach 100 Spielen +30 € Gesamtgewinn (Bild), obwohl E(G) = −0,5 € gilt. Was folgt?

● Nichts Ungewöhnliches: Serien schwanken um n · E(G)
○ E(G) muss falsch berechnet sein
○ Jetzt sind Verluste fällig, die den Gewinn ausgleichen

Der Gesamtgewinn streut um n · E(G) = −50 €; +30 € nach 100 Spielen ist eine mögliche Schwankung. Im weiteren Verlauf nähert sich die Kurve der Geraden, ohne dass ein „Ausgleich“ nötig wäre.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beim Rad mit 2 € Einsatz ist E(G) = −0,5 €. Deshalb verliert der Spieler in jedem einzelnen Spiel Geld.

✓ Falsch

E(G) beschreibt den Durchschnitt auf lange Sicht. Ein einzelnes Spiel mit Auszahlung 5 € oder 10 € bringt trotzdem Gewinn (3 € bzw. 8 €).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Rad hat E(X) = 1,5 €. Der Einsatz beträgt 2,50 €. Wie groß ist E(G) in Euro?

✓ Antwort: -1

E(G) = E(X) − c = 1,5 − 2,5 = −1 €. Das Vorzeichen zeigt: im Mittel ein Verlust.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Rad hat die Auszahlungsverteilung im Bild (0 €, 5 € und 20 €). Welcher Einsatz (in Euro) macht das Spiel fair?

✓ Antwort: 3

E(X) = 0 · 0,7 + 5 · 0,2 + 20 · 0,1 = 1 + 2 = 3. Fair ist ein Einsatz von 3 €.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Spiel hat E(G) = −0,5 € pro Spiel. Wie hoch ist der erwartete Gesamtgewinn nach 400 Spielen (in Euro)?

✓ Antwort: -200

400 · (−0,5) = −200 €. Die simulierte Bilanz weicht davon etwas ab.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei einem Jahrmarktspiel ist die erwartete Auszahlung 4,20 €, der Einsatz 5 €. Wie groß ist der erwartete Gewinn des Spielers pro Spiel in Euro?

✓ Antwort: -0.8

E(G) = 4,20 − 5 = −0,80 €. Pro Spiel verliert der Spieler im Mittel 80 Cent.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Würfelspiel kostet 2 € Einsatz und zahlt nur bei der Augenzahl 6 aus. Wie viele Euro müsste es bei einer 6 auszahlen, damit es fair ist?

✓ Antwort: 12

Mit Auszahlung a bei P = 1/6 ist E(X) = a/6. Fair: a/6 = 2, also a = 12 €.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Anbieter verdient im Mittel 0,30 € pro Spiel. Nach wie vielen Spielen erwartet er einen Gesamtgewinn von 240 €?

✓ Antwort: 800

n · 0,30 = 240 ergibt n = 240 : 0,30 = 800 Spiele.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Klasse will mit dem Glücksrad (Auszahlung 0 €, 1 €, 5 €, 10 € mit den Wahrscheinlichkeiten 0,55, 0,25, 0,15, 0,05) im Mittel 0,30 € pro Spiel verdienen. Berechne E(X). Bestimme den Einsatz c und gib den erwarteten Gewinn der Klasse für 500 Spiele an. Nenne den erwarteten Gewinn eines Spielers pro Spiel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: E(X) = 0 · 0,55 + 1 · 0,25 + 5 · 0,15 + 10 · 0,05 = 1,5 €. Der Gewinn der Klasse je Spiel ist c − X mit Erwartungswert c − 1,5 = 0,30, also c = 1,80 €. Für 500 Spiele: 500 · 0,30 = 150 €. Ein Spieler hat pro Spiel E(G) = 1,5 − 1,8 = −0,30 €.

Fair wäre c = 1,50 €. Für 0,30 € Verdienst pro Spiel legt die Klasse 0,30 € drauf: c = 1,80 €. Bei 500 Spielen erwartet sie 500 · 0,30 = 150 €.